Regelmäßigkeit von unären Sprachen mit Wortlängen die Summe von zwei resp. drei Quadrate

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Ich denke an unäre Sprachen , wobei aus allen Wörtern besteht, deren Länge die Summe von Quadraten ist. Formal: Es ist leicht zu zeigen, dass nicht regulär ist (z. B. mit Pumping-Lemma). Ferner wissen wir, dass jede natürliche Zahl die Summe von vier Quadraten ist, was impliziert, dass für alle Sprachen regulär sind, da . $L_k$ $L_k$ $k$

L_{k} = {a^{n} ∣ n = \sum_{i = 1}^{k} {n_{i}}^{2}, n_{i} \in N_{0} (1 \leq i \leq k)}

$L_k=\{a^n\mid n=\sum_{i=1}^k {n_i}^2,\;\;n_i\in\mathbb{N_0}\;(1\le i\le k)\}$

L_{1} = {a^{n^{2}} ∣ n \in N_{0}}

$L_1=\{a^{n^2}\mid n\in\mathbb{N_0}\}$

k \geq 4

$k\ge 4$

L_{k}

$L_k$

L_{k} = L (a^{*})

$L_k=L(a^*)$

Jetzt interessieren mich die Fälle und : $k=2$ $k=3$

$L_2=\{a^{{n_1}^2+{n_2}^2}\mid n_1,n_2\in\mathbb{N_0}\}$ , . $L_3=\{a^{{n_1}^2+{n_2}^2+{n_3}^2}\mid n_1,n_2,n_3\in\mathbb{N_0}\}$

Leider kann ich nicht zeigen, ob diese Sprachen regulär sind oder nicht (selbst mit Hilfe von Legendres Drei-Quadrat-Theorem oder Fermats Theorem auf Summen von zwei Quadraten ).

Ich bin mir ziemlich sicher, dass zumindest nicht regelmäßig ist, aber unglückliches Denken ist kein Beweis. Irgendeine Hilfe? $L_2$

formal-languages regular-languages

— Danny
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Vielleicht haben unsere Referenzfragen ( regelmäßig , nicht regelmäßig ) nützliche Hinweise .

— Raphael

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Beginnen wir mit . Es ist bekannt, dass die obere Dichte von ganzen Zahlen, die die Summe zweier Quadrate sind, 0 ist. Wenn regulär wäre, wäre es schließlich periodisch und daher, da seine obere Dichte 0 ist, endlich. Wir wissen jedoch, dass es in beliebig große ganze Zahlen , so dass nicht regulär sein kann. $L_2$ $L_2$ $L_2$ $L_2$

Betrachten Sie in Bezug auf die Wörter . Ich behaupte, dass für die Wörter sind. In der Tat ist während . Das Myhill-Nerode-Kriterium zeigt dann, dass unregelmäßig ist. $L_3$ $w_k = 1^{4^k 7}$ $k < \ell$ $w_k,w_\ell$ $w_k 1^{4^k 8} \notin L_3$ $w_\ell 1^{4^k 7} \in L_3$ $L_3$

— Yuval Filmus
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Angenommen, ist regulär. Dann , so ist sein Komplement, die von Legendre ist drei Quadrate - Satz ist . Nach dem Satz von Parikh würde dies bedeuten, dass die Menge der Längen $L_3$ $\{a^n\ |\ n=4^k(8l+7), k,l\in\mathbb{N}\}$ $S=\{4^k(8l+7)\ |\ k,l\in\mathbb{N}\}$ ist , dh eine endliche Vereinigung linearer Mengen . $\bigcup_{i=1}^NS_i$ $S_i=\{a_i + rb_i\ |\ r\in\mathbb{N}\}$

$s_1 = 4^{k_1}(8l_1+7), s_2 = 4^{k_2}(8l_2+7)\in S$ $k_1>k_2$ $r:=k_1-k_2$ $s_1,s_2$ $S_i$ $2s_1-s_2$ $2s_2-s_1$ $s_1<s_2$ $s_1>s_2$

$2(4^{k_1}(8l_1+7))-(4^{k_2}(8l_2+7)) = 4^{k_2}(8l'-7)$ $l'=4^{r-1}(8l_1+7)-l_2$
$2(4^{k_2}(8l_2+7))-(4^{k_1}(8l_1+7)) = 4^{k_2}(8l'-7*4^r+14)$ $l'=2l_2-4^rl_1$

$S$ $s_1,s_2$ $S$ $k$

$L_3$

— Klaus Draeger
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