Lösen der Wiederholungsrelation

Ich möchte beweisen, dass die zeitliche Komplexität eines Algorithmus in der Eingabeskala polylogarithmisch ist.

Die Wiederholungsrelation dieses Algorithmus ist , wobei . $T(2n) \leq T(n) + T(n^a)$ $a\in(0,1)$

Es scheint, dass für einige von abhängt . Aber ich kann diese Ungleichheit nicht beweisen. Wie kann man diese Wiederholungsbeziehung lösen? $T(n) \leq \log^{\beta}{n}$ $\beta$ $a$

Ich möchte nur eine obere Grenze des Polylogarithmus in n erhalten.

asymptotics recurrence-relation

— Qiang Li
quelle

, nehme ich an? Haben Sie auch unsereReferenzfrageüberprüft? Ich glaube nicht, dass der spezielle Fall, nach dem Sie fragen, dort explizit behandelt wird, aber es werden viele Techniken beschrieben.

a < 1

$a<1$

— David Richerby

Es gibt keinen "Master" -Satz für diesen Typ, den ich kenne; Siehe meine und diese Frage . (cc @DavidRicherby)

— Raphael

$T(n) > 0$ $n > 0$ $T(n) = \Omega(\log^k n)$ $k$ $n$

(1 + {ein}^{k}) {Log}^{k} n = {Log}^{k} n + {Log}^{k} n^{ein} \geq {Log}^{k} (2 n),

$(1+a^k) \log^k n = \log^k n + \log^k n^a \geq \log^k (2n),$

\sqrt[k]{1 + a^{k}} \log n \geq \log n + \log 2

$\sqrt[k]{1+a^k} \log n \geq \log n + \log 2$

[\sqrt[k]{1 + a^{k}} - 1] \log n \geq \log 2

$[\sqrt[k]{1+a^k}-1]\log n \geq \log 2$ und insbesondere für groß genug

n

$n$ .

Was ist die richtige Reihenfolge des Wachstums von $T(n)$ ? Um es herauszufinden, schreiben Sie $S(n) = T(2^n)$ . Die Wiederholung wird jetzt

S. (n + 1) = S. (n) + S. (ein n) .

$S(n+1) = S(n) + S(an).$ Für große

n

$n$ , Wir würden erwarten

S (n + 1) - S (n)

$S(n+1) - S(n)$ sehr nahe sein

S^{'} (n)

$S'(n)$ und so heuristisch würden wir das erwarten

S

$S$ erfüllen

S^{'} (n) = S (a n)

$S'(n) = S(an)$ . Diese Gleichung scheint etwas schwer zu lösen, aber eine ungefähre Lösung ist

S (n) = n^{Θ (\log n)}

$S(n) = n^{\Theta(\log n)}$ . Wenn wir zurücksetzen, schließen wir, dass die Reihenfolge des Wachstums von

T (n)

$T(n)$ sollte so etwas sein

(\log n)^{Θ (\log \log n)}

$(\log n)^{\Theta(\log \log n)}$ .

— Yuval Filmus
quelle

Es scheint, dass

\log^{k} (2 n) = (\log 2 + \log n)^{k}

$\log^k(2n) = (\log 2 + \log n)^k$ . Die Untergrenze gilt nicht.

— Qiang Li

@ QiangLi Danke, dass du den Fehler entdeckt hast. Die Untergrenze gilt jedoch, sobald das Argument entsprechend geändert wurde.

— Yuval Filmus