Zeitliche Komplexität einer dreifach verschachtelten Schleife

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Bitte beachten Sie die folgende dreifach verschachtelte Schleife:

for (int i = 1; i <= n; ++i)
    for (int j = i; j <= n; ++j)
        for (int k = j; k <= n; ++k)
            // statement

Die Anweisung hier wird genau Mal ausgeführt. Könnte jemand erklären, wie diese Formel erhalten wurde? Vielen Dank. $n(n+1)(n+2)\over6$

algorithms time-complexity algorithm-analysis

— Xin
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Die Frage Zeitkomplexitätsformel von verschachtelten Schleifen könnte ebenfalls von Interesse sein.

— Juho

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Sie können zählen, wie oft die innerste for-Schleife ausgeführt wird, indem Sie die Anzahl der Triplets $(i,j,k)$ für die sie ausgeführt wird.

Durch die Schleifenbedingungen wissen wir, dass: $1 \leq i \leq j \leq k \leq n$ . Wir können es auf das folgende einfache kombinatorische Problem reduzieren.

Stellen Sie sich $n+2$ rote Kästchen vor, die in einem Array von links nach rechts angeordnet sind.
Wähle 3 beliebige Kisten aus der $n+2$ Kisten und male sie blau an.
Bilden Sie ein Triplett wie folgt:
- = 1 + Anzahl roter Kästchen links vom ersten blauen Kästchen. $i$
- = 1 + Anzahl der roten Kästchen links vom zweiten blauen Kästchen. $j$
- = 1 + Anzahl der roten Kästchen links vom dritten blauen Kästchen. $k$

Wir müssen also nur die Anzahl der Auswahlmöglichkeiten für 3 Kästchen aus Kästchen zählen, also . $n+2$ $n+2 \choose 3$

— rizwanhudda
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Gute Antwort! Die genauen Werte von i, j, k sind nicht wichtig. Wir müssen nur wissen, dass jede blaue Box in n möglichen Positionen platziert werden kann und dass ihre Positionen begrenzt sind: 2. kommt immer nach dem 1. und vor dem 3..

— Dávid Natingga

@rizwanhudda Clear mit Ausnahme des

Teils in

. Kannst du es bitte erklären?

sieht aus wie die richtige Zahl.

+ 2

$+2$

n + 2

$n+2$

n + 3

$n+3$

— Saadtaame

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@saadtaame Ja. Sie können sich vorstellen,

rote Kästchen zu haben, aber Sie können 3 rote Kästchen zum Malen von Blau unter "

roten Kästchen" auswählen , da Sie das erste Kästchen nicht als blau färben können (Da

)

n + 3

$n+3$

n + 2

$n+2$

i \geq 1

$i \geq 1$

— rizwanhudda

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Für mich ist es einfacher zu bemerken, dass die innere Schleife Mal ausgeführt wird und die Gesamtzahl der Ausführungen in der inneren Schleife ist $n-i$

$(n-i)+(n-i-1)+(n-i-2)+\ldots+1$

Dies kann wie folgt umgeschrieben werden und ausgeführt wird - mal, so dass die Gesamtzahl der Ausführungen ist $\sum_{j=0}^{n-i} n-i-j$ $n$

\sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{n - i} n - i - j = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{6}

$\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{n-i} n-i-j=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

— Andy Mcevoy
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Eine Herausforderung für Sie: Stellen Sie sich vor, Sie haben eine x-verschachtelte Schleife. Entsprechend der vorherigen Antwort würde es ausführen (n + x-1) und x-mal wählen. Wie würden Sie Ihre Formel berechnen?

— Dávid Natingga

Zum Glück hat der OP nicht nach x-nested gefragt! Wie erweitert sich die andere Antwort auf eine x-verschachtelte Schleife? Meine Antwort sollte nur mehr Summen von 0 nach n, 0 nach n-i_1, 0 nach n-i_2, ..., 0 nach n-i_x bringen. Aber ich würde nicht wissen, wie ich das berechnen soll.

— Andy Mcevoy

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Die Antwort wird für ein allgemeines x nicht explizit erweitert, aber der dargestellte Argumentationsprozess lässt sich leicht auf x-verschachtelte Schleifen übertragen. Sie fügen nur weitere blaue Kästchen hinzu. Ich weiß auch nicht, wie ich diese mehr Summen berechnen würde.

— Dávid Natingga