Grammatiktransformation für arithmetische Ausdrücke

In dem Artikel Parsing Expressions by Recursive Descent von Theodore Norvell (1999) beginnt der Autor mit der folgenden Grammatik für arithmetische Ausdrücke:

E --> E "+" E | E "-" E | "-" E | E "*" E | E "/" E | E "^" E | "(" E ")" | v

Das ist ziemlich schlecht, weil es mehrdeutig und linksrekursiv ist. Also beginnt er damit, die linke Rekursion daraus zu entfernen, und sein Ergebnis ist als solches:

E --> P {B P}
P --> v | "(" E ")" | U P
B --> "+" | "-" | "*" | "/" | "^"
U --> "-"

Aber ich kann nicht herausfinden, wie er zu diesem Ergebnis gekommen ist. Wenn ich versuche, die linke Rekursion selbst zu entfernen, gehe ich folgendermaßen vor:

1. Zunächst gruppiere ich die Produktionen, die keine Rekursion hinterlassen haben, in einer Gruppe und andere (linksrekursiv) in einer anderen Gruppe:

   E --> E "+" E | E "-" E | E "*" E | E "/" E | E "^" E     // L-recursive
   E --> v | "(" E ")" | "-" E

2. Als nächstes benenne ich sie und berücksichtige sie für einfachere Manipulationen:

   E --> E B E  // L-recursive; B stands for "Binary operator"
   E --> P  // not L-recursive; P stands for "Primary Expression"
   P --> v | "(" E ")" | U E   // U stands for "Unary operator"
   B --> "+" | "-" | "*" | "/" | "^"
   P --> "-"

   Jetzt muss ich mich nur noch mit den ersten beiden Produktionen befassen, die jetzt einfacher zu handhaben sind.

3. Ich schreibe diese ersten beiden Produktionen neu, indem ich von der nicht-L-rekursiven Produktion (die einfach Pder primäre Ausdruck ist) ausgehe und dem optionalen Schwanz folge T, den ich als Rest der Originalproduktion abzüglich des ersten linksrekursiven Nichtterminals definiere (das heißt, nur B E) gefolgt vom Schwanz T, oder der leer sein könnte:

   E --> P T
   T --> B E T |

   (Beachten Sie die leere Alternative für den Schwanz).

4. Diese beiden Produktionen kann ich jetzt wie folgt in EBNF umschreiben:

   E --> P {B E}

   Das ist fast das, was der Autor bekommt, aber ich habe Estattdessen Pinnerhalb des Null-oder-Mehr-Wiederholungsmusters (den Schwanz). Die anderen Produktionen bekomme ich ganz gleich wie er:

   P --> v | "(" E ")" | U E
   B -> "+" | "-" | "*" | "/" | "^"
   U -> "-"

   aber auch hier habe ich Estatt Pin der ersten produktion für P.

Meine Frage lautet also: Was fehlt mir? Welche algebraische Transformation der Syntax muss ich jetzt durchführen, um genau die Form zu erhalten, die der Autor erhält? Ich habe Substitutionen für versucht E, aber es führt mich nur in Schleifen. Ich vermute , dass ich irgendwie ersetzen Pfür E, aber ich kenne keine rechtliche Umwandlung zu rechtfertigen. Vielleicht wissen Sie, was der letzte fehlende Schritt ist?

Der fehlende Schritt:

E --> P T
T --> B E T |

schreibe E in T um:

E --> P T
T --> B P T T | 

Vereinfache T:

E --> P T
T --> B P T | 

Gleichwertig:

E --> P T
T --> {B P}

Und da bist du ja.