Maximale Submatrixsumme

Angenommen $n\times m$ Matrix $A$Finden Sie aus ganzen Zahlen eine Untermatrix, deren Summe maximal ist. Wenn nur eine Zeile oder nur eine Spalte vorhanden ist, entspricht dies dem Auffinden eines maximalen Unterarrays .

Die 1D-Version kann durch dynamische Programmierung in linearer Zeit gelöst werden. Die 2D-Version kann in gelöst werden$\cal O(n^3)$ durch Schleifen über alle Spaltenpaare und Verwenden des 1D-Algorithmus für das Array, dessen Länge die Anzahl der Zeilen in der Matrix ist, in der sich jede Position befindet $r$ enthält die Summe der Elemente in der Zeile $r$ zwischen den beiden Spalten.

Wenn die Matrix gegeben ist durch:

Dann für das Spaltenpaar $(0,2)$Die maximale Submatrixsumme kann mithilfe des 1D-Algorithmus für das Array (von oben nach unten) ermittelt werden:

Ich fand dies: Sung Eun Bae, sequentielle und parallele Algorithmen für das generalisierte Maximum-Subarray-Problem . Lesen Sie die Seiten 18 bis 30, auf denen steht, dass es nur Kubik gibt$O(nm^2)$und Unter kubische Algorithmen für dieses Problem (im allgemeinen Fall), zum Beispiel Tadao Takaoka ‚s$O\left(n^3 \sqrt{\frac{\log\log n }{\log n }}\right)$ Algorithmus.

Ich habe auch einen Forumkommentar gefunden, der besagt, dass dieses Problem in gelöst werden kann$O(N^2\log N )$für Matrizen mit N Nicht-Null-Elementen unter Verwendung eines "lustigen" Segmentbaums (Sie können den Kommentator nach Details fragen ).