Hilberts 10. Problem und Chaitins diophantinische Gleichung „Computer“?

In Chaitins Meta Math! Die Suche nach Omega , er spricht kurz über Hilberts 10. Problem. Er sagt dann, dass jede diophantinische Gleichung in zwei gleiche Polynome mit positiven ganzzahligen Koeffizienten geändert werden kann: p = $p=0$ .$p=0 \iff p_1 = p_2$

Dann sagt er, dass wir uns diese Gleichungen wie einen "Computer" vorstellen können:

Diophantine Gleichung Computer - : Programm: k , Ausgang: n , Zeit: x , y , z , . .

$$L(k,n,x,y,z,...)=R(k,n,x,y,z,...)$$ $k$ $n$ $x,y,z,...$

Mit der linken Seite , rechte Seite R . Er sagt, k ist das Programm dieses Computers, der n ausgibt . Er sagt auch, dass die Unbekannten eine mehrdimensionale Zeitvariable sind .$L$$R$$k$$n$

Was mich verwirrt ist, dass er dann sagt, dass Hilberts 10. Problem auf diese Weise eindeutig nicht lösbar ist. Er sagt im Grunde "wegen Turings Halteproblem". Aber ich sehe den Zusammenhang nicht (ich fange gerade erst an, die Theorie zu lernen). Ich hatte gehofft, jemand könnte klarer erklären, worum es bei Chaitin hier geht.

Ich weiß, dass Turings Halteproblem im Grunde besagt, dass Sie nicht vorhersagen können, wann ein Programm angehalten wird, bevor es tatsächlich angehalten wird (bei einer begrenzten Zeitspanne). Was ist die Anwendung auf Hilberts 10. Problem unter Verwendung der von Chaitin angegebenen Notation?

Gute Frage. Es hört sich so an, als ob Sie zusätzliche Hintergrundinformationen zu Hilberts 10. Problem benötigen. Ich hoffe das ist nicht übertrieben.

Das Problem fragt:

$0$

Dies wurde in den 70er Jahren als Folge des MRDP (auch Matiyasevichs Theorem genannt, wenn Sie Lust haben, es zu durchsuchen) gelöst, das besagt:

$D \subset \mathbb{N}$$p$$k+1$$D = \{ x \, | \, \exists y \in \mathbb{R}_+^k \, p(x, y) = 0\}$

Die Diophantine-Sets sind genau diejenigen, die von Turing-Maschinen erkannt werden.

$x$$y \in \mathbb{R}_+^k$$p(x, y)$$p(x, y) = 0$

Wie löst das MRDP-Theorem Hilberts 10. Problem? Gut...

$p(y)$$y$$p(y) = 0$

$M$$x$$p(y | x)$$0$

$p(y) = 0$