Lösen der Wiederholung T (n) = 3T (n-2) mit iterativer Methode

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Es ist schon eine Weile her, dass ich eine Wiederholung lösen musste und ich wollte sicherstellen, dass ich die iterative Methode zur Lösung dieser Probleme verstehe. Gegeben:

T (n) = 3 T (n - 2)

$T(n) = 3T(n-2)$

Mein erster Schritt bestand darin, Begriffe iterativ zu ersetzen, um zu einer allgemeinen Form zu gelangen:

T (n - 2) = 3 T (n - 2 - 2) = 3 T (n - 4)

$T(n-2) = 3T(n-2 -2) = 3T(n-4)$

T (n) = 3 * 3 T (n - 4)

$T(n) = 3 *3T(n-4)$

was zur allgemeinen Form führt:

T (n) = 3^{k} T (n - 2 k)

$T(n) = 3^k T(n-2k)$

Jetzt löse ich $n-2k = 1$ zum $k$ Dies ist der Punkt, an dem die Wiederholung aufhört (wo $T(1)$ ) und geben Sie diesen Wert ein ( $n/2 - 1/2 = k$ ) in die allgemeine Form:

T (n) = 3^{n / 2 - 1 / 2}

$T(n) = 3^{n/2-1/2}$

T (n) = O (3^{n})

$T(n) = O(3^n)$

Bei diesem letzten Schritt bin ich mir nicht sicher:

Ich würde das einfach als "argumentieren" $n \to \infty$ man kann ignorieren $-1/2$ und $n/2 \to n$ ? Ist diese Annahme richtig?

asymptotics recurrence-relation

— wpp
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Beachten Sie, dass $3^{n/2-1/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} 3^{n/2} = \frac 1{\sqrt{3}} \sqrt{3^n}$ . Also die $-\frac 12$ in der Tat wird ein konstanter Faktor, der von der absorbiert wird $O()$ , aber $\frac n2$ im Exponenten ändert sich die Basis und durch Ändern der Basis ändert sich die $O$ -Klasse.

Die richtige Antwort lautet also $T(n) = O(3^{n/2}) = O(\sqrt{3^n})$ .

— FrankW
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Vielen Dank an @FrankW und @Jared! Ich habe diese Antwort als richtig markiert, da sie eine Erklärung enthält (das Ändern der Basis ändert die O-Klasse).

— wpp

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Bis zum letzten Schritt war alles korrekt ... Sie fanden:

T (n) \propto 3^{\frac{n}{2} - \frac{1}{2}} = {(3^{n - 1})}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} {(\sqrt{3})}^{n}

$T(n) \propto 3^{\frac{n}{2}- \frac{1}{2}} = \left(3^{n - 1}\right)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\sqrt{3}\right)^n$

— Jared
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