Normale Sprache, die vom EDA mit höchstens drei Staaten nicht akzeptiert wird

Beschreiben Sie eine reguläre Sprache, die von keinem DFA mit nur drei Zuständen akzeptiert werden kann.

Ich bin mir nicht sicher, wo ich damit anfangen soll und habe mich gefragt, ob mir jemand Tipps oder Ratschläge geben könnte. Ich verstehe, dass das Pump-Lemma verwendet werden kann, um zu beweisen, dass eine Sprache nicht regulär ist, aber in diesem Fall sollte es eine reguläre Sprache sein. Wenn jemand irgendwelche Gedanken hat, wäre er dankbar.

Das Pump-Lemma kann angegeben werden, um die Anzahl der Zustände im DFA zu berücksichtigen. Jede Sprache die von einem DFA mit p Zuständen akzeptiert wird , erfüllt das folgende Pump-Lemma:$L$$p$

Jedes Wort einer Länge von mindestens p kann als w = x y z aufgeteilt werden , wobei | x y | ≤ p und | y | ≥ 1 , so dass x y i z ∈ L für alle i ≥ 0 ist .$w$$p$$w=xyz$$|xy| \leq p$$|y| \geq 1$$xy^iz \in L$$i \geq 0$

Mit dieser Charakterisierung können Sie beweisen, dass die Sprache p + 1 Zustände erfordert .$\{0^p\}$$p+1$

Eine andere Methode ist die Verwendung des Myhill-Nerode-Theorems. Zwei Wörter sind nicht äquivalent (in Bezug auf eine Sprache L ), wenn für ein Wort z entweder x z ∈ L und y z ∉ L oder umgekehrt. Das Myhill-Nerode-Theorem besagt, dass, wenn es p paarweise inäquivalente Wörter gibt, jeder DFA für L mindestens p Zustände hat. Für das Beispiel L = { 0 p } finden Sie p + $x,y$$L$$z$$xz \in L$$yz \notin L$$p$$L$$p$$L = \{0^p\}$$p+1$paarweise inäquivalente Wörter, nämlich .$\epsilon,0,\ldots,0^p$

Yuvals Antwort ist großartig. Eine einfachere Formulierung dessen, was er beschrieben hat, ist, dass endliche Automaten nicht beliebig hoch zählen können und der Betrag, bis zu dem sie zählen können, durch die Zahlenzustände in den Automaten begrenzt ist. Genauer gesagt, damit Automaten bis , benötigen sie p + 1 Zustände (ein Zustand wäre 0 ).$p$$p+1$$0$

Dies ist im Wesentlichen die gesamte Idee hinter dem Pump-Lemma: Wenn eine Zeichenfolge wirklich lang ist, müssen die endlichen Automaten "vergessen", wie hoch sie gezählt werden, und von vorne beginnen, damit Sie einen Abschnitt immer wieder wiederholen können, ohne dass es ihn interessiert .

Daher kann eine reguläre Sprache, die zur Validierung eines Wortes in 3 gezählt werden muss, nicht durch endliche Automaten der Größe 3 beschrieben werden.

Können Sie sich eine solche Sprache vorstellen? (Ihr Professor kann auch erwarten, dass Sie dieses Zählargument beweisen, obwohl in meinem Lehrplan dieses Verständnis des Pump-Lemmas als selbstverständlich vorausgesetzt wurde.)

$a^3 a^*$$a^3$

eine andere Idee, Diagonalisierung ! Zählen Sie alle DFAs mit drei oder weniger Staaten auf, nehmen Sie die Vereinigung aller und nehmen Sie dann die Ergänzung. Dies ist ein DFA durch regelmäßige Schließung von Sprachoperationen. Dies könnte über einen Algorithmus konstruiert werden, aber die Frage fragt nur nach einer Beschreibung .