Was ist ein Beispiel für eine unbefriedigende 3-CNF-Formel?

15

Ich versuche, meinen Kopf um einen NP-Vollständigkeitsnachweis zu wickeln, der sich anscheinend um SAT / 3CNF-SAT dreht.

Vielleicht ist es die späte Stunde, aber ich fürchte, ich kann mir keine 3CNF-Formel vorstellen, die nicht befriedigt werden kann (ich vermisse wahrscheinlich etwas Offensichtliches).

Können Sie mir ein Beispiel für eine solche Formel geben?

logic satisfiability 3-sat

— user11171
quelle

29

Technisch gesehen können Sie in 3-CNF als schreiben , aber Sie möchten wahrscheinlich ein "echtes" Beispiel. $x\wedge \neg x$ $(x\vee x\vee x)\wedge (\neg x\vee \neg x\vee \neg x)$

In diesem Fall benötigt eine 3CNF-Formel mindestens 3 Variablen. Da jede Klausel genau eine Zuweisung ausschließt, benötigen Sie mindestens Klauseln, um eine nicht erfüllbare Formel zu erhalten. In der Tat ist die einfachste: $2^3=8$

Es ist nicht schwer zu erkennen, dass diese Formel nicht zu vereinbaren ist.

(x \lor y \lor z) \land (x \lor y \lor \neg z) \land (x \lor \neg y \lor z) \land (x \lor \neg y \lor \neg z) \land (\neg x \lor y \lor z) \land (\neg x \lor y \lor \neg z) \land (\neg x \lor \neg y \lor z) \land (\neg x \lor \neg y \lor \neg z)

$(x\vee y\vee z)\wedge (x\vee y\vee \neg z)\wedge (x\vee \neg y\vee z)\wedge(x\vee \neg y\vee \neg z)\wedge(\neg x\vee y\vee z)\wedge(\neg x\vee y\vee \neg z)\wedge(\neg x\vee \neg y\vee z)\wedge(\neg x\vee \neg y\vee \neg z)$

— Shaull
quelle

Vielleicht bin ich hier eher naiv, aber warum können Sie nicht eine Reihe von Vergleichen durchführen, um festzustellen, ob es

Sätze nicht äquivalenter Ausdrücke gibt? -

ist die Anzahl der eindeutigen Variablen. Wenn ich richtig gezählt habe, gibt es nur

2^{v}

$2^v$

v

$v$

\frac{n (n - 1)}{2}

$\frac{n(n-1)}{2}$

@ BenCrossley - nicht sicher, was du meinst. Kannst du ein Beispiel geben?

— Shaull

8

Wenn Sie komplexere Beispiele für solche Formeln wünschen, werfen Sie einen Blick auf einige Benchmark-Probleme von SATLIB . ToughSAT ist auch ein nützliches Tool zum Erstellen von 3-SAT-Instanzen. Es ist einfach, befriedigende und unbefriedigende Instanzen zu erstellen.

— Juho
quelle