Ist das Komplement von {ww | ...} kontextfrei?

Definieren Sie die Sprache als . Mit anderen Worten enthält die Wörter, die nicht als ein Wort ausgedrückt werden können, das zweimal wiederholt wird. Ist kontextfrei oder nicht?$L$$L = \{a, b\}^* - \{ww\mid w \in \{a, b\}^*\}$$L$$L$

Ich habe versucht, mit zu schneiden , aber ich kann immer noch nichts beweisen. Ich habe mir auch Parikhs Theorem angesehen, aber es hilft nicht.$L$$a^*b^*a^*b^*$

Es ist kontextfrei. Hier ist die Grammatik:

$S \to A | B|AB|BA$
$A \to a|aAa|aAb|bAb|bAa$
$B \to b|aBa|aBb|bBb|bBa$

$A$ erzeugt Wörter ungerader Länge mit$a$ in der Mitte. Gleiches gilt für$B$ und$b$ .

Ich werde einen Beweis vorlegen, dass diese Grammatik korrekt ist. Let L = { a , b } * ∖ { w w | w ∈ { a , b } * } (die Sprache , in der Frage).$L = \{a,b\}^* \setminus \{ww \mid w \in \{a,b\}^*\}$

Satz. L = L ( S ) . Mit anderen Worten, diese Grammatik erzeugt die Sprache in der Frage.$L = L(S)$

Beweis. Dies gilt sicherlich für alle ungeraden Länge Worten, da diese Grammatik alle ungeraden Längen Worte erzeugt, ebenso wie L . Konzentrieren wir uns also auf gerade Wörter.$L$

Angenommen, x ∈ L hat eine gerade Länge. Ich zeige das x ∈ L ( G ) . Insbesondere behaupte ich, dass x in der Form x = u v geschrieben werden kann , wobei sowohl u als auch v eine ungerade Länge und unterschiedliche zentrale Buchstaben haben. Somit x kann von beiden abgeleitet werden A B oder B A (je nachdem, ob u ‚s zentraler Buchstabe ist a oder b ). Anspruchsberechtigung: Es sei der i- te Buchstabe von $x \in L$$x \in L(G)$$x$$x=uv$$u$$v$$x$$AB$$BA$$u$$a$$b$$i$$x$mit x i bezeichnet werden , so dass x = x 1 x 2 ≤ x n . Dann, da x nicht in { w w ∣ w ∈ { a , b } n / 2 } ist , muss ein Index i existieren, so dass x i ≠ x i + n / 2 ist . Folglich können wir u = x 1 ⋯ x 2 i nehmen $x_i$$x = x_1 x_2 \cdots x_n$$x$$\{ww \mid w \in \{a,b\}^{n/2}\}$$i$$x_i \ne x_{i+n/2}$1 undv= x 2 i ≤ x n ; der zentrale Buchstabe vonuist x i und der zentrale Buchstabe vonvist x i + n / 2 , also habenu,vdurch Konstruktionunterschiedliche zentrale Buchstaben.$u = x_1 \cdots x_{2i-1}$$v = x_{2i} \cdots x_n$$u$$x_i$$v$$x_{i+n/2}$$u,v$

Nehmen wir als nächstes an, dass x ∈ L ( G ) gerade Länge hat. Ich werde zeigen, dass wir x ∈ L haben müssen . Wenn x sogar Länge hat, muss es von beiden ableitbar sein A B oder B A ; ohne Beschränkung der Allgemeinheit an , dass es von ableitbar ist , A B , und x = u v wobei U ableitbar aus ist , A und v ist ableitbar von B . Wenn u , v die gleichen Längen haben, müssen wir u $x \in L(G)$$x \in L$$x$$AB$$BA$$AB$$x=uv$$u$$A$$v$$B$$u,v$v (da sie verschiedene zentrale Buchstaben haben), so x ∉ { w w | w ∈ { a , b } * } . Nehmen wir also an , dass u , v unterschiedliche Längen haben, z. B. Länge ℓ und n - ℓ . Dann sind ihre zentralen Buchstaben u ( ℓ + 1 ) / 2 und v ( n - ℓ + 1 ) / 2 . Die Tatsachedass$u\ne v$$x \notin \{ww \mid w \in \{a,b\}^*\}$$u,v$$\ell$$n-\ell$$u_{(\ell+1)/2}$$v_{(n-\ell+1)/2}$$u,v$ have different central letters means that $u_{(\ell+1)/2} \ne v_{(n-\ell+1)/2}$. Since $x=uv$, this means that $x_{(\ell+1)/2} \ne x_{(n+\ell+1)/2}$. If we attempt to decompose $x$ as $x=ww'$ where $w,w'$ have the same length, then we'll discover that $w_{(\ell+1)/2} = x_{(\ell+1)/2} \ne x_{(n+\ell+1)/2} = w'_{(\ell+1)/2}$, i.e., $w\ne w'$, so x∉{ww∣ w ∈ { a , b } ∗ } . Insbesondere folgt, dass x ≤ L ist .$x \notin \{ww \mid w \in \{a,b\}^*\}$$x \in L$

This language is context free it was proved in the following paper:

Tomaszewski, Zach. "A Context-Free Grammar for a Repeated String." Journal of Information and Computer Science, 2012 (PDF).

The grammar is as follows: