Pumpendes Lemma für einfache endliche reguläre Sprachen

Wikipedia hat die folgende Definition des Pumplemmas für reguläre Sprachen ...

Sei eine reguläre Sprache. Dann existiert eine ganze Zahl ≥ 1, die nur von abhängt, so dass jede Kette in einer Länge von mindestens ( wird als "Pumplänge" bezeichnet) als = (dh kann in drei geteilt werden) Teilzeichenfolgen), die die folgenden Bedingungen erfüllen:p L w L p p w x y z $L$$p$$L$$w$$L$$p$$p$$w$$xyz$$w$

1. | | ≥ 1$y$
2. | | ≤$xy$$p$
3. für alle ≥ 0 ist ∈x y i z $i$$xy^iz$$L$

Ich sehe nicht ein, wie dies für eine einfache endliche reguläre Sprache befriedigt ist. Wenn ich ein Alphabet von {habe } und regulären Ausdruck dann besteht aus nur das einem Wort , das ist , gefolgt . Ich möchte jetzt sehen, ob meine reguläre Sprache das pumpfähige Lemma befriedigt ...a b L a $a,b$$ab$$L$$a$$b$

Da sich in meinem regulären Ausdruck nichts wiederholt, muss der Wert von leer sein, damit Bedingung 3 für alle erfüllt ist . Aber wenn ja, dann versagt Bedingung 1, die besagt, dass mindestens 1 lang sein muss!i $y$$i$$y$

Wenn stattdessen entweder , oder ist, wird Bedingung 1 erfüllt, aber Bedingung 3 nicht erfüllt, da es sich nie wiederholt.a b a $y$$a$$b$$ab$

Mir fehlt offensichtlich etwas Geistesblitzendes. Welches ist?

Sie haben Recht - wir dürfen keine Worte mit einem endlichen "pumpen" . Was Sie vermissen, ist, dass das Lemma sagt, dass es eine Zahl p gibt , aber uns die Zahl nicht mitteilt.$L$$p$

Alle Wörter, die länger als sind, können vom Lemma gepumpt werden. Für eine endliche L , ist es so , dass p größer ist als die Länge des längsten Wortes in ist L . Somit ist das Lemma nur vakuumhaltig und kann nicht auf ein Wort in L angewendet werden , dh, ein Wort in L erfüllt nicht die Bedingung "Länge mindestens p ", wie es das Lemma erfordert.$p$$L$$p$$L$$L$$L$$p$

Eine Konsequenz: Wenn die Pumplänge p hat und ein Wort w ∈ L mit einer Länge von mindestens p existiert , dann ist L unendlich.$L$$p$$w\in L$$p$$L$

Pumplemma wird normalerweise für unendliche Sprachen verwendet, dh Sprachen, die eine unendliche Anzahl von Wörtern enthalten. Für jede endliche Sprache , da es immer von einem DFA mit endlicher Anzahl von Staat akzeptiert werden kann, L muss regelmäßig sein.$L$$L$

Laut Wikipedia ( http://en.wikipedia.org/wiki/Pumping_lemma_for_regular_languages#Formal_statement ) sagt Pumping Lemma: $\begin{array}{l} (\forall L\subseteq \Sigma^*) \\ \quad (\mbox{regular}(L) \Rightarrow \\ \quad ((\exists p\geq 1) ( (\forall w\in L) ((|w|\geq p) \Rightarrow \\ \quad\quad ((\exists x,y,z \in \Sigma^*) (w=xyz \land (|y|\geq 1 \land |xy|\leq p \land (\forall i\geq 0)(xy^iz\in L)))))))) \end{array}$

Für jede endliche Sprache sei l m a x die maximale Länge von Wörtern in L und sei p im Pump-Lemma l m a x + 1 . Das Pump Lemma gilt , da es keine Wörter sind L deren Länge ≥ l m a x + 1 .$L$$l_{max}$$L$$p$$l_{max}+1$$L$$\geq l_{max}+1$

Eine Möglichkeit, den Kernteil des Pumping-Lemmas zu formalisieren, ist die Verwendung von :$L^{\geq k} = \{ w \in L \mid |w| \geq k\}$

Wenn regulär ist, gibt es p ∈ N , so dass$L$$p \in \mathbb{N}$

(*).$\qquad \displaystyle \forall w \in L^{\geq p}.\ \exists x,y,z \dots$

Für alle endlichen und p > max { | w | ∣ w ∈ L } haben wir offensichtlich, dass L ≥ p = ∅ ist . Daher ist (*) für solche p (vakuum) wahr .$L$$p > \max \{ |w| \mid w \in L\}$$L^{\geq p} = \emptyset$$p$