Verbindung zwischen KMP-Präfixfunktion und String-Matching-Automat

Sei der String-Matching-Automat für das Muster , das heißt$A_P = (Q,\Sigma,\delta,0,\{m\})$$P \in \Sigma^m$

• $Q = \{0,1,\dots,m\}$
• $\delta(q,a) = \sigma_P(P_{0,q}\cdot a)$ für alle und$q\in Q$$a\in \Sigma$

mit die Länge des längsten Präfixes von , das ein Suffix von , das heißt$\sigma_P(w)$$P$$w$

$\qquad \displaystyle \sigma_P(w) = \max \left\{k \in \mathbb{N}_0 \mid P_{0,k} \sqsupset w \right\}$ .

Nun lassen $\pi$ die Präfix - Funktion aus dem Knuth-Morris-Pratt - Algorithmus , das heißt

$\qquad \displaystyle \pi_P(q)= \max \{k \mid k < q \wedge P_{0,k} \sqsupset P_{0,q}\}$ .

Wie sich herausstellt, kann man $\pi_P$ , um $\delta$ schnell zu berechnen . Die zentrale Beobachtung ist:

Nehmen Sie die obigen Begriffe und $a \in \Sigma$ . Für $q \in \{0,\dots,m\}$ mit $q = m$ oder $P_{q+1} \neq a$ gilt dies

$\qquad \displaystyle \delta(q,a) = \delta(\pi_P(q),a)$

Aber wie kann ich das beweisen?

Als Referenz berechnen Sie auf folgende Weise $\pi_P$ :

m ← length[P ]
π[0] ← 0
k ← 0
for q ← 1 to m − 1 do
  while k > 0 and P [k + 1] =6 P [q] do
    k ← π[k]
    if P [k + 1] = P [q] then
       k ← k + 1
    end if
    π[q] ← k
 end while
end for

return π

Beachten Sie zunächst per Definition, dass per Definition

• $\delta(q,a) = \sigma_P(P_{0,q}\cdot a) =: s_1$ und
• $\delta(\pi_P(q),a) = \sigma_P(P_{0,\pi_P(q)}\cdot a) =: s_2$ .

Untersuchen wir und in einer Skizze:$s_1$$s_2$

^{[ Quelle ]}

Nehmen wir nun an, ; dies widerspricht der maximalen Wahl von direkt. Wenn wir annehmen, widersprechen wir der Tatsache, dass sowohl als auch maximal gewählt werden, insbesondere weil . Da beide Fälle zu Widersprüchen führen, gilt , qed$s_2 > s_1$$s_1$$s_1 > s_2$ $s_2$$\pi_P(q)$$\pi_P(q) \geq s_1 - 1$$s_1=s_2$

Wie gewünscht, eine ausführlichere Version des Beweises:

Jetzt müssen wir ; Wir tun dies, indem wir zeigen, dass das Gegenteil zu Widersprüchen führt.$s_1=s_2$

• Angenommen, . Beachten Sie, dass weil und per Definition von . Daher ist - ein Präfix von und ein Suffix von - länger als , was per Definition von das längste Präfix von das ist ein Suffix von . Dies ist ein Widerspruch.$s_2 > s_1$$P_{0,s_2} \sqsupset P_{0,q}\cdot a$$P_{0,s_2} \sqsupset P_{0,\pi_P(q)}\cdot a$$P_{0,\pi_P(q)} \sqsupset P_{0,q}$$s_2$$P_{0,s_2}$$P$ $P_{0,q}\cdot a$$P_{0,s_1}$$s_1$$P$$P_{0,q}\cdot a$

Bevor wir mit dem anderen Fall fortfahren, lassen Sie uns sehen, dass . Beachten Sie, dass wir haben , weil . Angenommen, widerspricht sofort der maximalen Auswahl von ( befindet sich in der Menge, aus der ausgewählt wird).$\pi_P(q) \geq s_1 - 1$$P_{0,s_1} \sqsupset P_{0,q}\cdot a$$P_{0,s-1} \sqsupset P_{0,q}$$\pi_P(q) < s_1 - 1$$\pi_P(q)$$s_1 - 1$$\pi_P(q)$

• Angenommen, . Wir haben gerade , und denken Sie daran, dass . Daher widerspricht der maximalen Auswahl von ( befindet sich in der Menge, aus der ausgewählt ist).$s_1 > s_2$$|P_{0,\pi_P(q)}\cdot a| \geq s_1$$P_{0,\pi_P(q)}\cdot a \sqsupset P_{0,q} \cdot a$$s_1 > s_2$$s_2$$s_1$$s_2$

Da weder noch können, haben wir bewiesen, dass , qed$s_1 > s_2$$s_2 > s_1$$s_1 = s_2$