Guillotinenschnitte versus allgemeine Schnitte

Schnittprobleme sind Probleme, bei denen ein bestimmtes großes Objekt in mehrere kleine Objekte geschnitten werden soll. Stellen Sie sich zum Beispiel eine Fabrik vor, die mit großen Rohglasscheiben der Breite und Länge L arbeitet . Es gibt mehrere Käufer, von denen jeder eine unbegrenzte Anzahl kleiner Glasscheiben haben möchte. Käufer ich will Blätter der Länge l i und Breite w i . Ihr Ziel ist es, kleine Bogen vom großen zu trennen , so dass die Gesamtmenge maximiert und der Abfall minimiert wird (es gibt auch andere Arten von Schneide- und Verpackungsproblemen ).$W$$L$$i$$l_i$$w_i$

Eine häufige Einschränkung bei Schnittproblemen besteht darin, dass die Schnitte Guillotinenschnitte sein müssen , dh jedes vorhandene Rechteck kann nur in zwei kleinere Rechtecke geschnitten werden; Es ist unmöglich, L-Formen usw. herzustellen. Offensichtlich kann die maximal genutzte Fläche mit Guillotinenschnitten kleiner sein als die maximal genutzte Fläche ohne Einschränkung.

Meine Frage ist: Gibt es obere und untere Grenzen für das Verhältnis zwischen dem optimalen Guillotinenschnitt und dem optimalen allgemeinen Schnitt?

Verwandte Arbeiten: Song et al. (2009) beschreiben einen Algorithmus, der eine eingeschränkte Art von Guillotinenschnitten verwendet - Doppel-Guillotinenschnitte . Sie beweisen anhand geometrischer Randbedingungen, dass das Verhältnis zwischen dem maximalen Doppel-Guillotine-Schnitt und dem maximalen Guillotine-Schnitt durch . Ich suche ein vergleichbares Ergebnis über das Verhältnis zwischen dem maximalen Guillotinenschnitt zum maximalen Generalschnitt.$\frac{6}{7}$

$1/4$$3/4$

$2$$1-\varepsilon$$1+\varepsilon$$\varepsilon$

$3/4$

$W$$L$$i$$w_i \leq W$$l_i \leq L$$i$

$i$$1/4$

Mir ist bewusst, dass die untere Grenze ziemlich schwach ist und mit etwas mehr Arbeit möglicherweise verbessert werden kann. Aber es ist ein Anfang.