Was ist der schnellste Algorithmus zur Multiplikation von zwei n-stelligen Zahlen?

Ich möchte wissen, welcher Algorithmus für die Multiplikation von zwei n-stelligen Zahlen am schnellsten ist. Platzkomplexität kann hier gelockert werden!

Fürers Algorithmus von Martin Fürer hat ab sofort eine Zeitkomplexität von die Fouriertransformationen über komplexe Zahlen verwendet. Sein Algorithmus basiert auf Schönhages und Straßens Algorithmus, der eine zeitliche Komplexität von$n \log(n)2^{Θ(log*(n))}$$Θ(n\log(n)\log(\log(n)))$

Andere Algorithmen, die schneller sind als der Multiplikationsalgorithmus der Grundschule, sind die Karatsuba-Multiplikation mit einer zeitlichen Komplexität von ≈ O (n ^ {1,585}) und der Toom 3-Algorithmus mit einer zeitlichen Komplexität von Θ (n ^ {1,465})O ( n 1,585 ) Θ ( n 1,465$O(n^{\log_{2}3})$$O(n^{1.585})$$Θ(n^{1.465})$

Beachten Sie, dass dies die schnellen Algorithmen sind. Das Finden des schnellsten Algorithmus für die Multiplikation ist ein offenes Problem in der Informatik.

Verweise :

1. Fürers Algorithmus
2. FFT-basierte Multiplikation großer Zahlen
3. Schnelle Fourier-Transformation
4. Toom-Cook-Vermehrung
5. Schönhage-Strassen-Algorithmus
6. Karatsuba-Algorithmus

Beachten Sie, dass die von avi aufgelisteten FFT-Algorithmen eine große Konstante hinzufügen, was sie für Zahlen unter Tausenden + Bits unpraktisch macht.

Neben dieser Liste gibt es noch einige andere interessante Algorithmen und offene Fragen:

• Lineare Zeitmultiplikation in einem RAM-Modell (mit Vorberechnung)
• Die Multiplikation mit einer Konstanten ist sublinear( PDF ) - dies bedeutet eine sublineare Anzahl von Additionen, die für eine Bitkomplexität von insgesamt. Dies entspricht im Wesentlichen einer langen Multiplikation (bei der Sie basierend auf der Zahl vons in der unteren Zahlverschieben / hinzufügen), die, jedoch mit einembeschleunigen.1O(n2)O(logn$\mathcal{O}\left(\frac {n^2} {\log n} \right)$$1$$\mathcal{O}\left({n^2} \right)$$\mathcal{O}\left(\log n\right)$
• Rückstandsnummernsystem und andere Darstellungen von Zahlen; Die Multiplikation ist nahezu linear. Der Nachteil ist, dass die Multiplikation modular ist und {Überlauferkennung, Parität, Größenvergleich} alle so schwer oder fast so schwer wie das Zurückkonvertieren der Zahl in eine binäre oder ähnliche Darstellung und das Ausführen des herkömmlichen Vergleichs sind. Diese Umrechnung ist mindestens so schlecht wie die herkömmliche Multiplikation (derzeit AFAIK).
  • Andere Darstellungen:
    • [ Logarithmische Darstellung ]: Die Multiplikation ist eine Addition der logarithmischen Darstellung. Beispiel: $$16 \times 32 = 2^{\log_2 16 + \log_2 32} = 2^{4+5} = 2^{9}$$
      • Nachteil ist, dass die Konvertierung in und aus der logarithmischen Darstellung so schwierig wie die Multiplikation oder schwieriger sein kann. Die Darstellung kann auch gebrochen / irrational / ungefähr usw. sein. Andere Operationen (Addition?) Sind wahrscheinlich schwieriger.
    • Kanonische Darstellung : Stellen Sie die Zahlen als Exponenten der Primfaktorisierung dar. Die Multiplikation ist die Addition der Exponenten. Beispiel: $$36 \times 48 = 3^2\cdot 5^1\times 2^{2}\cdot 3^1\cdot 4^1 = {2^2}\cdot {3^2} \cdot 4^1 \cdot 5^1$$
    • Nachteil ist, erfordert Faktoren oder Faktorisierung, ein viel schwierigeres Problem als die Multiplikation. Andere Operationen wie das Hinzufügen sind wahrscheinlich sehr schwierig.