Großer Theta-Beweis für die Polynomfunktion

Dies sind keine Hausaufgaben. Ich habe die Lösung, aber es ist nicht das, was ich bekomme. Ich weiß, dass es mehrere Lösungen für das Problem gibt, aber ich möchte sicherstellen, dass mir nichts entgeht.

Die Frage lautet wie folgt:

Man beweise, dass 2 - 4n + 7 = Θ ( ) ist. Geben Sie die Werte der Konstanten an und zeigen Sie Ihre Arbeit.$n^2$$n^2$

So bin ich mit dem Problem umgegangen:

Aus der Definition von Θ (g (n)):

0 ≤ C ₁ $n^2$ ≤ 2 $n^2$ - 4n + 7 ≤ C ₂ $n^2$

Teilen Sie die Ungleichung durch den n-Term der größten Ordnung. (Nur so kann ich diese Gleichungen lösen.)

0 ≤ C ₁ ≤ 2 - (4 / n - 7 / ) ≤ C ₂$n^2$

Teilen Sie das Problem in zwei Teile: LHS und RHS.

Wir beginnen mit der RHS:

Finden Sie die Konstante C ₂ , die erfüllt

0 ≤ 2 - (4 / n - 7 / ) ≤ C ₂$n^2$

n = 1, (2 - (4/1 - 7/1 )) = 5$1^2$

n = 2, (2 - (4/2 - 7/2 )) = 7/4$2^2$

n = 3, (2 - (4/3 - 7/9)) = 13/9

Wir wählen C ₂ als 2, n ≥ 2, um die RHS zu erfüllen.

LHS: Wir versuchen eine Konstante zu finden, die zufriedenstellt

0 ≤ C ₁ ≤ 2 - (4 / n - 7 / )$n^2$

Von oben wissen wir, dass sich die Gleichung nach n = 2 2 nähert, wenn n größer wird. Wenn wir also eine Konstante wählen, die kleiner als 2 ist, sollte sie die LHS erfüllen.

Wir wählen C ₁ als 1. Für n würde die Wahl von 1 die linke Seite erfüllen, aber da die RHS n ≥ 2 benötigt, bleiben wir dabei.

Die Konstanten, die 2 - 4n + 7 = Θ ( ) beweisen, sind also$n^2$$n^2$

C ₁ = 1, C ₂ = 2, n ≥ 2

Die gegebene Lösung für dieses Problem wählt n≥4, aber ich bin nicht sicher warum. Es scheint, dass n ≥ 2 gut funktionieren würde. Liege ich irgendwo falsch

Wenn ich mich nicht irre, wenn ich C ₁ als auch 2 gewählt hätte, würde das nicht auch die linke Seite befriedigen, da die Ungleichung es erlaubt, ≤ zu sein?

Ihre Lösung ist in Ordnung. Es gibt mehrere Möglichkeiten, diese Tatsache zu beweisen, alle gültig / korrekt. Ihr Ansatz ist also gültig, und es ist möglich, dass die Lösung aus Ihrer Klasse auch gültig ist: Das ist kein Widerspruch.

Lassen Sie mich Ihnen jedoch einen Rat geben, wie Sie Ihren Beweis in Zukunft strukturieren können. In dem Argument, das Sie in der Frage skizziert haben, arbeiten Sie "rückwärts": Sie gehen von der Aussage aus, von der Sie sich wünschen, dass sie wahr ist (das$c_1 n^2 \le 2 n^2 -4n + 7 \le c_2 n^2$), und dann versuchen Sie abzuleiten, was wahr sein muss $c_1,c_2$für Ihren Wunsch, wahr zu halten. Die Erfahrung hat jedoch gezeigt, dass diese Art von Argumentation fehleranfällig ist: Es fällt Ihnen leicht, unterwegs einen Fehler zu machen. Es ist auch für andere schwer zu überprüfen.

Wenn Sie Ihren Beweis aufschreiben, schlage ich vor, dass Sie in die entgegengesetzte Richtung argumentieren. Beginnen Sie mit dem, was Sie wissen, dass es wahr ist, und leiten Sie dann die Implikationen daraus ab und schließen Sie mit der Schlussfolgerung, dass$c_1 n^2 \le 2 n^2 -4n + 7 \le c_2 n^2$. Dies entspricht besser der Denkweise der Menschen und erleichtert dem Leser das Verständnis der Vorgänge. Und der Zweck eines Beweises besteht darin, dem Leser eine Idee zu vermitteln. Daher sollte der Beweis so strukturiert sein, dass das Leben des Lesers einfacher wird: damit der Leser so einfach wie möglich überprüfen kann, ob die Argumentation des Beweises korrekt und gültig ist. Es ist wie ein gutes Buch; Gutes Schreiben wird gewählt, um dem Leser das Leben gut zu machen. Beweise sind der gleiche Weg. Und letztendlich wird dies auch Ihnen zugute kommen: Wenn Sie meiner Erfahrung nach diesem Ansatz folgen, ist es weniger wahrscheinlich, dass Sie einen subtilen Fehler in Ihrem Beweis machen.

Ein besserer Beweis wäre also, dies zu zeigen $n^2 \le 2n^2 - 4n + 7$ gilt für alle $n\ge 2$ (weil so und so), und zeigen Sie das $2n^2 - 4n + 7 \le 2n^2$ gilt für alle $n\ge 2$ (weil bla-de-bla), und schließen Sie daraus $2n^2 - 4n + 7 \in \Theta(n^2)$. Mir ist klar, dass diese Art von Beweis schwieriger zu schreiben ist, weil Sie den Wert von kennen müssen$c_1,c_2$zu verwenden, bevor Sie anfangen können, diesen Beweisstil aufzuschreiben. Aber weißt du was? Das ist ok. Sie können eine Seitenberechnung auf Rubbelpapier durchführen, um herauszufinden, welcher Wert von$c_1,c_2$benutzen. Zeigen Sie uns diese Nebenberechnung nicht. finde einfach heraus, welchen Wert von$c_1,c_2$ wäre gut zu tun, und dann beginnen Sie den Beweis mit Ihnen ziehen $c_1=1,c_2=2$magisch aus der Luft und zeigen, dass Ihre Wahl gültig ist. Diese Art des Beweises ist besser für Sie und besser für den Leser.