Für welche Arten von Sprachen gilt min | NFA | = Ω (min

Betrachten wir eine reguläre Sprache . Sei ein minimaler DFA für und ein minimaler NFA für (minimal im Sinne einer möglichst geringen Anzahl von Zuständen für einen Automaten, der die gegebene Sprache erkennt). Schreiben Siefür die Größe (Anzahl von Zuständen) des Automaten . Im Allgemeinen istkann viel kleiner als(bis auf , da die Determinierung im schlimmsten Fall exponentiell ist). $L$ $D(L)$ $L$ $N(L)$ $L$ $|A|$ $A$ $|N(L)|$ $|D(L)|$ $\lg |D(L)|$

Ich interessiere mich für Sprachen, für die die minimale NFA garantiert mindestens einen Bruchteil der Größe des DFA beträgt:. Welche Familien regulärer Sprachen haben diese Eigenschaft? Mit anderen Worten, für welche Sprachfamilie so dass ist ? $|N(L)| \ge k |D(L)|$ $(L_n)$ $|D(L_n)| = n$ $|N(L_n)| = \Omega(n)$

— Karthik CS
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Intuitiv scheint es klar zu sein, dass die Sprachen, die dies charakterisiert, diejenigen sind, in denen man durch Nichtdeterminismus in Bezug auf Komplexität nichts erreichen kann. Keine Ahnung, auf welche greifbare Eigenschaft sich das beziehen könnte.

— G. Bach

Ich befürchte, dass Ihre Frage wie angegeben keinen Sinn ergibt, da die Notation nur für Funktionen definiert ist, während Sie in Ihrer Frage nur eine Sprache berücksichtigen.

Ω

$\Omega$

— J.-E.

@ J.-E.Pin Während Sie Recht haben, ist seine Frage sinnvoll, wenn Sie den Satz, der mit "Nehmen wir an" beginnt, ignorieren und den letzten Satz als Verweis auf die Sprachfamilie betrachten, für die er gilt.

— G. Bach

Nach meinem Verständnis der Kommentare lautet die Frage: "Für welche Sprachfamilien ist ?" Ist das richtig?

| min N F A | = Ω (| min D F A |)

$|\min NFA| = \Omega(|\min DFA|)$

— Patrick87

Die Notation ist nur dann sinnvoll, wenn dazu neigt, . Eine mögliche einfachere Formulierung wäre: Wenn eine Konstante , was ist die Klasse aller regulären Sprachen, die erfüllen .

Ω

$\Omega$

n

$n$

\infty

$\infty$

c

$c$

L_{c}

$\mathcal{L}_c$

min | D F A | ⩽ c min | N F A |

$\min |DFA| \leqslant c \min |NFA|$

— J.-E.

Vielleicht ist dies zu trivial, um es zu erwähnen, aber ich werde es trotzdem erwähnen: Eine Klasse von Sprachen fällt mir ein (obwohl es möglicherweise viel interessantere Sprachklassen gibt als diese, die die Eigenschaft erfüllen).

Betrachten Sie eine Sprachfamilie wobei . Ein minimaler NFA für die te Sprache hat Zustände (unter der Annahme, dass kein toter Zustand vorliegt), während ein minimaler DFA Zustände aufweist (unter der Annahme eines einzelnen toten Zustands). Wir haben das . $\{\{\epsilon\}, \{w\}, \{ww\}, ..., \{w^n\}, ...\}$ $w \in \Sigma^*$ $n$ $n|w|+1$ $n|w|+2$ $n|w|+1 = \Omega(n|w|+2)$

Wir bekommen eine andere Familie, indem wir jeder Sprache erlauben, bis zu zu akzeptieren ;; Dies ist die Familie . Die Automaten für diese Sprachen sind praktisch identisch mit den entsprechenden Automaten aus der anderen Familie, außer dass diese mehr Akzeptanzzustände haben. $n|w|$ $\{\{\epsilon, w, ww, ..., w^n\} \mid n \geq 0\}$

Dies sind zufällig Familien endlicher Sprachen. Wir könnten natürlich eine Familie von unendlichen Sprachen wie folgt erhalten: . $\{\{w^nw^*\} \mid n \geq 0\}$

Betrachten Sie jede Sprachfamilie, die aus einem einzigen Wort besteht. Für jede solche Sprache das Verhältnis vonzuwird kleiner als , also muss eine solche Sprachfamilie die Eigenschaft erfüllen. Da es über ein Alphabet zählbar viele endliche Zeichenfolgen gibt und wir eine mögliche Teilmenge davon in Betracht ziehen, erhalten wir auf diese Weise eine unzählige Anzahl von Sprachfamilien. $|\min DFA|$ $|\min NFA|$ $2$

FWIW, um diese Beispiele zu erhalten, war mein Gedanke, dass wir nach Sprachen suchen, die etwas beinhalten, was eine NFA nicht viel besser kann als ein DFA. Das Akzeptieren einer zufälligen Zeichenfolge und sonst nichts ist in dieser Hinsicht bemerkenswert. Ich denke allgemeiner, es gibt einen informellen Begriff von "Unkompliziertheit des EDA", der mit dem zu tun zu haben scheint, was gefragt wird.

Wissen Sie, denken Sie mal darüber nach, ich denke, wir können das etwas verallgemeinern: Jede Sprachfamilie mit der folgenden Form sollte funktionieren: für , wobei ist eine beliebige reguläre Sprache und ist eine endliche Zeichenfolge. Angenommen , für , dass und . Dann sollte die Familie immer . $L_n = \{s_0s_1...s_i\}L$ $n \geq 0$ $L$ $s_n$ $L$ $|\min DFA| = x$ $|\min NFA| = y$ $L_n$ $|\min DFA| / |\min NFA| \leq x/y$

Ich weiß nicht, ob dies relevant, interessant oder nützlich ist, aber ich dachte, wenn nichts anderes, könnte dies die Frage wiederbeleben.

— Patrick87
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Für welche Arten von Sprachen gilt min | NFA | = Ω (min | DFA |)?