Ableiten der Sobel-Gleichungen aus Ableitungen

Viele Sites geben die Sobel-Operatoren als Faltungsmaske zum Glätten eines Bildes an. Ich habe jedoch keine einzige Site gefunden, die beschreibt, wie Sie die Operatoren aus partiellen ersten Ableitungen ableiten können. Wenn jemand die Ableitung erklären kann, würde ich es sehr schätzen.

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— Quanquan Liu
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Der Sobel-Operator ist eine Annäherung an die Ableitung in der X-Dimension, gefolgt von einem einfachen Glättungsoperator in der Y-Dimension. (Oder Ableitung in der Y-Dimension und dann in X geglättet).

Betrachten Sie ein eindimensionales Signal $f(t)$ . Die Ableitung von $f(t)$ , $d f(t) / dt$ kann geschrieben werden als :

lim_{Δ \to 0} \frac{f (t + Δ) - f (t - Δ)}{2 Δ}

$\lim_{\Delta \rightarrow 0} \frac{f(t+\Delta) - f(t-\Delta)}{2\Delta}$

Dies wird als zentrierte Differenzformel bezeichnet .

Bei einem diskreten Signal ist das kleinste Ihnen zur Verfügung steht, der Abstand zwischen den Abtastwerten. Verwenden Sie dies als Annäherung an die Grenze. $\Delta$

Wir können sehen, wie schlecht (oder gut) eine Annäherung ist, indem wir uns ansehen, was sie mit einem komplexen Exponentialsignal . Die wahre Ableitung würde . Die Näherung ergibt $e^{\omega i t}$ $\omega i e^{\omega i t}$ bei niedrigen Frequenzen (nahe 0)so extrem genau, aber zunehmend ungenau, wenn sichder Nyquist-Frequenz ()nähert. Dies ist ungefähr das Beste, was Sie mit drei Proben machen werden. Es hat auch den Vorteil, dass der Hochfrequenzgang überdämpft und nicht überverstärkt wird.

\frac{e^{ω ich (t + 1)} - - e^{ω ich (t - - 1)}}{2} = \frac{e^{ω ich} e^{ω ich t} - - e^{- - ω ich} e^{ω ich t}}{2} = \frac{e^{ω ich} - - e^{- - ω ich}}{2} e^{ω ich t} = ich Sünde (ω) e^{ω ich t}

$\frac{e^{\omega i (t+1)} - e^{\omega i (t-1)}}{2} = \frac{e^{\omega i}e^{\omega i t}-e^{-\omega i}e^{\omega i t}}{2} = \frac{e^{\omega i} - e^{-\omega i}}{2}e^{\omega i t} = i \sin(\omega)e^{\omega i t}$

ω

$\omega$

ω

$\omega$

ω \to π

$\omega \rightarrow \pi$

$\frac{1}{4}f(t-\Delta) + \frac{1}{2}f(t) + \frac{1}{4}f(t+\Delta)$

\frac{1}{4} e^{ω ich (t - - Δ)} + \frac{1}{2} e^{ω ich t} + \frac{1}{4} e^{ω ich (t + Δ)} = \frac{1}{2} (1 + \frac{e^{- - ω ich Δ} + e^{ω ich Δ}}{2}) e^{ω ich t} = \frac{1}{2} (1 + \cos ω) e^{ω ich t}

$\frac{1}{4}e^{\omega i (t - \Delta)} + \frac{1}{2}e^{\omega i t} + \frac{1}{4}e^{\omega i (t + \Delta)} = \frac{1}{2}(1 + \frac{e^{-\omega i \Delta}+e^{\omega i \Delta}}{2})e^{\omega i t} = \frac{1}{2}(1 + \cos \omega)e^{\omega i t}$

\frac{1}{8} [\begin{array}{ccc} 1 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & - 2 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}] .

$\frac{1}{8} \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \end{array} \right].$

— Wandering Logic
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