Scott-stetige Funktionen: eine alternative Definition

Ich kämpfe wirklich mit dieser Eigenschaft:

Lassen seine Kohärenz Räume und f : C L ( X ) → C L ( Y ) eine monotone Funktion sein. f ist kontinuierlich , wenn und nur wenn f ( ⋃ x ∈ D x ) = ⋃ x ∈ D f ( x ) , für alle D ⊆ C l ( X ) , so daß D ein gerichteter Menge ist.$X,Y$$f: Cl(X) \rightarrow Cl(Y)$$f$$f(\bigcup_{x\in D} x)=\bigcup_{x \in D}f(x)$$D \subseteq Cl(X)$$D$

Die gerichtete Menge ist wie folgt definiert: POSET$D \subseteq$ist eine gerichtete Menge, wenn ≤ z ≤ D, wie x ≤ z und x ' ≤ z . C l ( X ) steht für Cliquen von X: { x ⊆ | X | ∣ a , b ∈ x ⇒ a kohärent b } .$\forall x, x' \in D$ $\exists z \in D$$x \subseteq z$$x' \subseteq z$
$Cl(X)$$\{x \subseteq |X| \mid a,b \in x \Rightarrow a$$b \}$

Viele Bücher geben das als Definition von Scott-stetigen Funktionen an , aber leider nicht mein Lehrer. Er gab uns diese Definition von stetig:

kontinuierlich iff es monotone und ∀ x ∈ C l ( X ) , ∀ b ∈ F ( x ) , ∃ x 0 ⊆ f i n x , b ∈ F ( x 0 ) , wobeimonotondefiniert ist als: f ist monoton wennf a $f : Cl(X) \rightarrow Cl(Y)$$\forall x \in Cl(X), \forall b \in f(x), \exists x_0 \subseteq_{fin} x, b \in f(x_0)$
$f$$a \subseteq b \Rightarrow f(a) \subseteq f(b)$

Dies ist der vorgeschlagene Beweis, den ich habe, aber ich kann die letzte Gleichung nicht verstehen.

Der Beweis von stetig impliziert f ( ⋃ D ) = ⋃ f ( D $f$$f(\bigcup D)=\bigcup f(D)$ :
Sei . Durch die Definition der Kontinuität, ∃ x 0 ⊂ F i n x | b ∈ f ( x 0 ) . Man beachte, dass x 0 die Vereinigung von { x i ∣ x i ∈ D } ist .$b \in f(\bigcup D)$$\exists x_0 \subset_{fin} x \mid b \in f(x_0)$$x_0$$\{ x_i \mid x_i \in D\}$
Wenn direkt ist, gilt :: z ∈ D ∣ x i ⊆ z dann x 0 ⊆ z . Durch die Definition der Monotonie, f ( x 0 ) ⊆ f ( z ) so b ∈ f ( z ) (???) ⊆ ⋃ f ( D ) . Und selbst das ist wahr, wir sollten zeigen, dass ⋃ f ( D ) = f ( ⋃ $D$$\exists z \in D \mid x_i \subseteq z$$x_0 \subseteq z$$f(x_0)\subseteq f(z)$$b \in f(z)$ $\subseteq \bigcup f(D)$ , nicht nur ⊆ .$\bigcup f(D) = f(\bigcup D)$$\subseteq$

Der Beweis der anderen Implikation ist noch schlimmer, so dass ich ihn hier nicht schreiben kann ... Können Sie mir erklären, wie der Beweis funktionieren kann?

Die Definition der Kontinuität, die Ihr Lehrer verwendet, ist die schönere. Es sagt Ihnen ziemlich konkret, was Kontinuität bedeutet.

Angenommen, . Dies bedeutet, dass die Funktion unter Berücksichtigung aller Informationen von x , möglicherweise einer unendlichen Menge von Token (Atomen), ein Element erzeugt, das die atomare Information b enthält . (Es könnte auch andere Informationen haben, aber wir sind nicht mit , dass zur Zeit besorgt.) Ihr Lehrers Definition sagt , dass es nicht notwendig ist , um jeden der unendlichen Informationen zu suchen x , um die Ausgangsinformation zu erzeugen b . Eine endliche Teilmenge von x reicht aus, um es zu erzeugen.$b \in f(x)$$x$$b$$x$$b$$x$

(Melvin Fitings Buch "Computability Theory, Semantics and Logic Programming", Oxford, 1987, nennt diese Eigenschaft Kompaktheit und definiert eine kontinuierliche Funktion als monoton und kompakt.)

Dies ist das Wesen der Kontinuität. Um eine begrenzte Menge an Informationen über die Ausgabe einer Funktion zu erhalten, benötigen Sie nur eine begrenzte Menge an Informationen über die Eingabe. Die Ausgabe, die von der Funktion für eine unendliche Eingabe erzeugt wird, wird erhalten, indem die Informationen, die sie erzeugt, für alle endlichen Approximationen der unendlichen Eingabe zusammengesetzt werden. Mit anderen Worten, Sie bekommen keinen magischen Sprung von den endlichen Annäherungen zu ihrer unendlichen Vereinigung. Was auch immer du im Unendlichen bekommst, du solltest schon in einem endlichen Stadium sein.

Die Standardgleichung ist schön anzusehen, sagt aber nicht alles über die Intuition aus, die ich oben erklärt habe. Mathematisch entspricht dies jedoch der Definition Ihres Lehrers.$f(\bigcup_{x \in D} x) = \bigcup_{x \in D} f(x)$

Um zu zeigen, dass ist, genügt es zu zeigen, dass f ( x ) in f ( ⋃ x ∈ D x ) für jedes x ∈ D enthalten ist . Das folgt aber direkt aus der Monotonie von f, weil x ⊆ ⊆ x ∈ D x . Das ist also die "einfache" Richtung.$\bigcup_{x \in D} f(x) \subseteq f(\bigcup_{x \in D} x)$$f(x)$$f(\bigcup_{x \in D} x)$$x \in D$$f$$x \subseteq \bigcup_{x \in D} x$

Die andere Richtung, die Ihr Lehrer bewiesen hat, ist die interessante: . Verwenden Sie dazu die oben erwähnte Intuition. Jeder Atominformationsteil B in der linken Seite kommt von einer endlichen Approximation der Eingabe: x 0 ⊆ f i n ⋃ x ∈ D x . Das heißt, b ≤ f ( x 0 ) . Seit x $f(\bigcup_{x \in D} x) \subseteq \bigcup_{x \in D} f(x)$$b$$x_0 \subseteq_{fin} \bigcup_{x \in D} x$$b \in f(x_0)$$x_0$endlich ist und in der Vereinigung der gerichteten Menge enthalten ist, muss es etwas in der gerichteten Menge geben, das größer als , vielleicht x 0 selbst. Nennen Sie dieses Element z . Durch Monotonie ist f ( x 0 ) ≤ f ( z ) . Also ist b ∈ f ( z ) . Da z ∈ D , f ( z ) ⊆ ⋃ x ∈ D f ( x ) . Also, jetzt $x_0$$x_0$$z$$f(x_0) \subseteq f(z)$$b \in f(z)$$z \in D$$f(z) \subseteq \bigcup_{x \in D} f(x)$$b$wird auch in der rechten Seite gesehen. QED.

Wie Sie bemerkt haben, ist es einfach zu zeigen, dass die Kontinuität Ihres Lehrers die hübsche Gleichung impliziert. Das Schwierigere ist zu zeigen, dass die hübsche Gleichung, obwohl sie nicht sehr aussagt, wirklich alles in der Definition Ihres Lehrers aussagt.

Nachdem ich die letzte Antwort geschrieben hatte, fiel mir verspätet ein, dass die Definition des Lehrers von Kontinuität, die ich in meiner Antwort erklärte, der topologische Begriff von Kontinuität ist. Die algebraische Formulierung der Kontinuität, die normalerweise in Lehrbüchern der Informatik erwähnt wird, verbirgt alle topologischen Intuitionen. (In der Tat hat Dana Scott oft geschrieben, dass er topologische Formulierungen absichtlich vermieden hat, weil Informatiker damit nicht vertraut sind.)

Die Verknüpfung zwischen algebraischen und topologischen Formulierungen wird als Stone-Dualität bezeichnet , und es wird zunehmend klar, dass diese Verknüpfung selbst für die Informatik von außerordentlicher Bedeutung ist.

Eine konzeptionelle Darstellung dieser Zusammenhänge (und vieles mehr) finden Sie in Abramskys Informationen, Prozessen und Spielen .