Konvexe Polygonformulierung

Wir haben eine sortierte Liste von Seitenlängen, die zur Bildung eines Polygons verwendet werden können. Es gibt solche Werte ( ).$n$$n \le 1000$

Jetzt müssen wir herausfinden, ob wir 10 dieser Werte verwenden können, um ein nicht entartetes konvexes Polygon zu bilden.

Wie gehen wir das an? Alles bis zur Größenordnung von ist akzeptabel. Besser wenn möglich. Ich brauche die allgemeine Vorstellung davon, wie es weitergehen soll, welche Eigenschaften konvexe Polygone hier ausgenutzt werden können usw.$O(n^2 \log n)$

Satz 1. Für jedes Polygon mit Kantenlängenfolge$a_1,\ldots,a_m$gibt es ein konvexes Polygon mit der gleichen Kantenlängenfolge.

Beweis. Hier .

Definition. $a_1,\ldots,a_n$ Sein $n$nicht negative Reals. Es erfüllt (streng)$n$-gon Ungleichung wenn$2a_j < \sum_{i=1}^n a_i$ für alle $j$.

Satz 2. Die Folge$a_1,\ldots,a_n$ ist eine Folge der Kantenlänge für ein Polygon, wenn es erfüllt ist $n$-gon Ungleichung.

Beweis. Hier . (Beachten Sie, dass der Beweis hier fortgeschrittene Mathematik erfordert und auch Satz 1 beweist.)

Das Problem reduziert sich auf:

Gegeben eine Folge von $n$ nicht negative Reals, finde a $k$ Elementteilfolge, die erfüllt $k$-gon Ungleichung.

Ein einfacher Algorithmus: Überprüfen Sie, ob $a_i,\ldots,a_{i+k-1}$ ist eine Lösung für jeden $1 \leq i\leq n-k+1$. Wenn keiner von ihnen funktioniert, gibt es keine Lösung.

Beweis. Wenn wir eine Lösung haben$a_{i_1},\ldots,a_{i_k}$, finde den größten $j$, so dass $a_{i_{j+1}}-a_{i_j}>1$, (dh es gibt eine Lücke). Wenn es keine solche Lücke gibt, sind wir fertig. Wenn es einen gibt, dann$a_{i_2},\ldots,a_{i_{j}},a_{i_{j+1}-1},a_{i_{j+1}},\ldots,a_{i_k}$ist auch eine Lösung. (Intuitiv haben wir das größte Element in der Lücke verwendet und das kleinste Element entfernt). Wir können diesen Schritt (höchstens) wiederholen$k-1$Zeiten) und füllen Sie alle Lücken. Schließlich haben wir eine Lösung der Form erstellt$a_{i_k}-k+1,a_{i_k}-k,\ldots,a_{i_k}-1,a_{i_k}$ für einige $i$.

Der Algorithmus kann naiv in ausgeführt werden $O(kn)$Zeit. Vielleicht gibt es einen intelligenteren Weg, dies zu tun.

Eine interessante Folgefrage:

Gegeben eine Folge von $n$ Nicht negative Reals finden die längste Teilsequenz $S$, so dass jeder $k$ Elementsequenz von $S$ befriedigt $k$-gon Ungleichung .