Wie definiere ich Quanten-Turing-Maschinen?

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Was ist bei der Quantenberechnung das äquivalente Modell einer Turing-Maschine? Mir ist ziemlich klar, wie Quantenschaltungen aus Quantentoren aufgebaut werden können, aber wie können wir eine Quantenturingmaschine (QTM) definieren, die tatsächlich von Quanteneffekten profitieren kann, nämlich auf hochdimensionalen Systemen arbeiten?

quantum-computing turing-machines computation-models

— Ran G.
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Diese Vorlesungsnotiz von Berkeley gibt eine Antwort. www.eecs.berkeley.edu/~vazirani/f97qcom/lec19.ps

— Mohammad Al-Turkistany

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Tatsächlich sind das Quantenschaltungsmodell und die Quantenturnmaschine äquivalent, was von ACYao bewiesen wurde.

— Strin

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^{( Anmerkung : Die vollständige Beschreibung ist etwas komplex und enthält einige Feinheiten, die ich am liebsten ignoriert habe. Nachfolgend sind nur die allgemeinen Ideen für das QTM-Modell aufgeführt.)}

Wenn man eine Quantum Turing-Maschine (QTM) definiert, möchte man ein einfaches Modell haben, das dem klassischen TM ähnelt (dh eine Finite-State-Maschine plus ein unendliches Band), aber dem neuen Modell den Vorteil der Quantenmechanik gewähren.

Ähnlich wie das klassische Modell hat QTM:

$Q=\{q_0,q_1,..\}$ $q_0$
$\Sigma=\{\sigma_0,\sigma_1,...\}$ $\Gamma=\{\gamma_0,..\}$
ein unendliches Band und ein einziger "Kopf".

$C=(q,T,i)$ $q\in Q$ $T\in \Gamma^*$ $i$

$\mathcal{H}$ $Q\times\Sigma^*\times \mathrm{Z}$ $C=(q,T,i)$

| C ⟩ = | q ⟩ | T ⟩ | i ⟩ .

$|C\rangle = |q\rangle |T\rangle |i\rangle.$ _$\Gamma$

$|\psi(0)\rangle = |q_0\rangle |T_0\rangle |1\rangle$ $T_0\in \Gamma^*$ $x\in\Sigma^*$

$U$

| ψ (i + 1) ⟩ = U | ψ (i) ⟩

$|\psi(i+1)\rangle = U|\psi(i)\rangle$

$n$ $|\psi(n)\rangle = U^n|\psi(0)\rangle$ $U$ $\langle q',T',i'|U|q,T,i\rangle$ $i'= i \pm 1$ $T'$ $T$ $i$

$q_f$

Das Interessante ist, dass jeder "Schritt" des QTM-Zustands eine Überlagerung möglicher Konfigurationen ist, was dem QTM den "Quanten" -Vorteil gibt.

Die Antwort basiert auf Masanao Ozawa, Über das Halteproblem von Quantenturniermaschinen . Siehe auch David Deutsch, Quantentheorie, das Church-Turing-Prinzip und den universellen Quantencomputer .

— Ran G.
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Ich bin mir nicht sicher, ob die ursprüngliche Definition von David Deutsch alles richtig macht. Es war das erste Mal, dass jemand versuchte, sie zu definieren, und es bedurfte einiger Verbesserungen, um die richtige mathematisch genaue Definition herauszufinden.

— Peter Shor

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Wie aus den Anmerkungen hervorgeht, besteht die Definition eines QTM darin, die Übergangsfunktion als eine einheitliche Transformation von Zustand und Buchstabe zu definieren. In jedem Schritt stellen Sie sich vor, Sie multiplizieren den Vektor (Zustand, Buchstabe) mit einer Transformation, um einen neuen (Zustand, Buchstabe) zu erhalten. Es ist nicht besonders praktisch, aber es kann definiert werden.

— Suresh
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