Wie können Theorien und Anfragen der Informatik gelöst werden?

Es ist wahrscheinlich möglich zu beweisen, dass P ≠ NP ist, dass Einwegfunktionen existieren und dass Paritätsspiele nicht in Polynomzeit gelöst werden können (ja, ich habe diese Liste durchgelesen ), aber wie würden wir vorgehen, um eine dieser Funktionen zu beweisen? Dinge? Gab es Beweise für Informatik-Theorien oder Antworten auf wesentliche Informatik-Fragen (wie die in dieser Liste )? Sind sie wie mathematische Beweise (wie Grigori Perelmans Entschließung zur Poincaré-Vermutung)? Ich weiß, dass das P-gegen-NP-Problem nicht in meiner Liga zu sein scheint, da ich ein Junior in der High School bin, aber es ist ein Problem, das mich fasziniert, und ich würde wirklich gerne sehen, wie andere (wenn überhaupt) andere, verwandte Fragen beantwortet haben, weil Ich würde gerne eine Lösung für das Problem finden.

Dies ist kein Duplikat dieser Frage, vor allem, weil Physik keine Informatik ist, und zweitens, weil Informatik-Theorien, sofern ich mich nicht irre, nicht auf die gleiche Weise bewiesen werden wie Theorien, die sich auf physikalische Wissenschaften beziehen. Sie ähneln eher mathematischen Beweisen, da sie logisch sind (richtig?).

In einigen Punkten würde ich nicht zustimmen.

Ich denke nicht, dass es "wahrscheinlich" möglich ist, zu beweisen . Ich denke sicherlich nicht, dass es unmöglich ist, aber Gödels Unvollständigkeitssätze sagen uns, dass es in einem logischen System einige Sätze gibt, die wahr sind, aber nicht bewiesen werden können.$P \neq NP$

Sie fragen, ob es Beweise für Informatik-Theorien gegeben hat. Es gab mindestens Tausende. Diese variieren von unbedeutend bis riesig. Ich werde hier einige der relevantesten (auch bekannt als meine Favoriten) erwähnen.

• Einige Probleme können mit keinem Algorithmus gelöst werden. Egal was. Je. Ein Beispiel hierfür ist die Bestimmung, ob ein Computerprogramm für immer ausgeführt wird. Es gibt keine Möglichkeit, ein Programm anzusehen und eine Ja / Nein-Antwort zu erhalten, wenn es für immer ausgeführt wird.
• Die Funktionen, die von einer Turingmaschine berechnet werden können, sind die gleichen wie die Funktionen, die von der Lambda-Rechnung berechnet werden können. Sie sind dieselben wie praktisch jede Programmiersprache. Obwohl die Geschwindigkeit unterschiedlich sein kann, können grundsätzlich alle turing-vollständigen Programmiersprachen (die meisten von ihnen) die gleichen Probleme lösen.
• Die Arten eines Computerprogramms stehen in direktem Zusammenhang mit dem Nachweis der Richtigkeit. Dies wird als "Curry-Howard-Korrespondenz" bezeichnet und ist ziemlich komplex, daher werde ich hier nicht auf die Details eingehen. Beachten Sie, dass ich mit Typen Dinge wie Ganzzahl, Zeichenfolge, Liste, Array usw. meine.
• Eine Liste von reellen Zahlen kann nicht schneller als sortiert werdenDies bedeutet, dass unabhängig vom verwendeten Algorithmus im schlimmsten Fall ungefähr Schritte erforderlich sind, um diese Liste zu sortieren.$\Omega (n\log n).$$n\log n$
• Eine große Anzahl von Problemen ist im Kern das gleiche Problem. Wenn Sie jemals von NP-vollständigen Problemen gehört haben, bedeutet dies, dass diese Probleme alle auf die Erfüllbarkeit hinauslaufen. Sie stammen aus der Graphentheorie, der Kombinatorik, der Zeitplanung und einer Vielzahl von Bereichen, aber letztendlich prüfen sie alle nur, ob eine logische Formel von ORs und ANDs eine Eingabe enthält, die als Gesamtergebnis wahr ist.

Beachten Sie, dass dies alles notwendigerweise komplexe Themen sind, die ich vereinfacht habe, um Ihnen einen Eindruck von den Dingen zu geben, die in der Informatik nachweisbar sind.

Sie fragen, wie Theorien der Informatik bewiesen werden. Das Problem ist, dass die Informatik ein unglaublich vielfältiges Gebiet ist und es wirklich von Ihrem Teilgebiet abhängt. Die Theorie der Berechnung, die Konstruktion der Programmiersprache und die formale KI ("ordentliche" KI) sind hochmathematisch und basieren stark auf Logik und Beweisen.

Es gibt jedoch viele Teilfelder, die viel experimenteller sind. Die Mensch-Computer-Interaktion oder alles, was mit der menschlichen Seite des Rechnens zu tun hat, hängt stark von Studien und Experimenten ab, an denen Benutzer beteiligt sind. Betriebssysteme, Grafiken und Compiler werden sich stark auf Leistungsbewertungen verlassen, um zu sehen, welche Programme im wahrsten Sinne des Wortes am schnellsten sind, nicht nur auf dem Papier.

Wenn Sie in der Junior High sind, denke ich, dass es viele Informatikprobleme gibt, die in Ihrer Reichweite liegen. Da es sich um ein so junges Gebiet handelt, gibt es viele ungelöste CS-Probleme, die relativ einfach zu verstehen sind. Im Gegensatz zur Physik, wo Sie Tonnen und Tonnen von Kalkülhintergrund benötigen, setzt CS wirklich auf einfache Logik. Wenn Sie Induktion, Logik und die Grundlagen diskreter Strukturen (Grafiken, Zeichenfolgen usw.) lernen können, gibt es wahrscheinlich viele Konzepte, die einem Schüler der Mittelstufe zugänglich sind.

Die theoretische Informatik, zu der die von Ihnen angegebenen Fragen gehören, ist Teil der Mathematik, und die Methoden zur Lösung von Fragen sind die gleichen, die an anderer Stelle in der Mathematik verwendet werden, nämlich die Beweismethode. Die Fragen, die Sie auflisten, sind notorisch schwierig und scheinen für aktuelle Methoden unerreichbar zu sein.

In der Vergangenheit waren die Methoden zum Angriff auf Fragen der von Ihnen beschriebenen Art rein kombinatorisch. Kürzlich haben Ketan Mulmuley und seine Schüler eine andere Methode entwickelt, die die Darstellungstheorie (über eine algebraische Geometrie) verwendet und von ihnen vermutet wird, dass sie eines Tages stark genug sind, um die Frage P gegen NP zu lösen. Derzeit sind die einzigen Fragen, die für ihre Methoden in Reichweite sind, algebraische Fragen wie permanent versus determinant und nicht boolesche Fragen wie P versus NP.

Da allgemein (wenn auch nicht allgemein) angenommen wird, dass sich P von NP unterscheidet, sind viele Ergebnisse von dieser Annahme abhängig. Das heißt, sie gelten nur, wenn P tatsächlich von NP verschieden ist. Der Bereich der Approximationshärte, in dem untersucht wird, wie gut verschiedene kombinatorische Probleme im schlimmsten Fall (in Polynomzeit) approximiert werden können, ist ein gutes Beispiel: Alle Ergebnisse in diesem Bereich hängen von P gegenüber NP oder von einigen noch stärkeren Annahmen ab.

Wenn Sie sagen, dass es "wahrscheinlich möglich" ist, wichtige / schwierigste ungelöste offene Probleme in CS zu lösen, ist dies nur "Anfängergeist" oder [härter, aber ehrlich, uninformierte] Spekulation. Jeder, der merkt, dass zB P vs NP seit über 4 Jahrzehnten offen ist [ über das Doppelte seines Alters! ] muss zugeben, dass seine lange Geschichte ohne Lösung und ein nicht beanspruchter Preis von 1 Mio. USD über ein Jahrzehnt ein Indiz dafür sind, dass die Möglichkeit der Unbeweisbarkeit nicht zu vernachlässigen ist. Während ich eine Umfrage unter Theoretikern lese [2], sagen etwa 4-5%, dass sie es für unbeweisbar oder gleichwertig halten, "unabhängig" von grundlegenden arithmetischen Axiomen (es ist in der Tat anscheinend eine kleine Minderheitensicht unter Experten).

Es gibt sogar ein preisgekröntes Papier von Razborov / Rudich mit dem Titel " Natural Proofs" , das nach einigen Interpretationen einen Beweis für die Unbeweisbarkeit erbringt, indem es einen solchen Beweis [grob, informell] zeigt, wenn er existiert, der sich grundlegend von einem bekannten "ähnlichen" unterscheidet. jemals erfundene Beweise (oder in einem streng definierten formalen Sinne " unnatürlich "!). & Sie sollten etwas über Probleme lernen, die sich nach langer Offenheit als unentscheidbar erwiesen haben, z. B. Hilberts 10. Problem (offenes ¾-Jahrhundert).

Ja, die meisten wichtigen CS-Beweise im Kern sind mathematische Beweise "unter der Haube", manchmal hochtechnisch, unter Verwendung von Elementen wie z. B. Kombinatorik , Extremalgraphen und Extremalkombinatorik . die nächstgelegenen vorhandenen Beweise zu P.$\neq$NP sind wohl Beweise von Razborov und späteren Forschern über die unteren Grenzen des monotonen Schaltkreises. In Models of Computation by Savage gibt es eine Präsentation für Studenten [möglicherweise die zugänglichste, die jemals veröffentlicht wurde] . siehe auch Lance Fortnows neues Buch The Golden Ticket .

Als exotische / Longshot-Wildcard-Fußnote gibt es einige Spekulationen und Enthusiasmus in Mathematik und TCS, selbst von einigen Elite-Experten (z. B. WT Gowers ), dass die automatisierte Proof- Technologie eines Tages viel leistungsfähiger werden könnte, z. B. halbkreativ und fast AI-artig. [1] ]] Abgesehen von Science-Fiction-Szenarien ist es dennoch gelungen, zeitweise einige isolierte, aber sehr schwierige Probleme wie das 4-Farben-Theorem und die Keplers-Vermutung zu lösen .

Ein anderer Ansatz für P vs NP könnte darin bestehen, anhand eines vorgeschlagenen Beweisumrisses zu arbeiten [3] oder sich mit anderen Personen zusammenzutun, die an dem Problem arbeiten. [4] [5] [6]

[1] Abenteuer und Aufregung in der automatisierten Theoremprüfung, vzn

[2] P vs NP-Umfrage von Gasarch

[3] Umriss für einen NP vs P / Poly-Beweis basierend auf monotonen Schaltkreisen, Hypergraphen, Factoring- und Slice-Funktionen , vzn

[4] Jun Fukuyama P gegen NP Seite

[5] Monotone Schaltkreise tcs.se Chatroom

[6] RJ Lipton P gegen NP Blog

Die gelösten sind offensichtlich nicht auf dieser Liste ... brennende Fragen waren das Problem des Stillstands, was mit "Algorithmus" gemeint ist, und definieren eine einigermaßen "maschinenunabhängige" Art zu sagen, wann eine Lösung für ein Problem "effizient" ist. Die Analyse von Algorithmen ist ein völlig neuer Bereich mit einer reichen Sammlung von Ergebnissen. Die Liste geht weiter.