Planare reguläre Sprachen

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In meiner Klasse fragte eine Schülerin, ob alle endlichen Automaten ohne überkreuzende Kanten gezeichnet werden könnten (anscheinend haben alle meine Beispiele dies getan). Natürlich ist die Antwort negativ, der offensichtliche Automat für die Sprache hat die Struktur von , dem vollständigen Graphen auf fünf Knoten . Yuval hat eine ähnliche Struktur für eine verwandte Sprache gezeigt. $\{\; x\in\{a,b\}^* \mid \#_a(x)+2\#_b(x) \equiv 0 \mod 5 \;\}$ $K_5$

Meine Frage lautet wie folgt: Wie zeigen wir, dass jeder endliche Automaten für diese Sprache nicht planar ist? Mit Myhill-Nerode-ähnlichen Charakterisierungen lässt sich wahrscheinlich feststellen, dass die Struktur der Sprache im Diagramm vorhanden ist. Aber wie machen wir das genau?

Und wenn dies möglich ist, gibt es eine Charakterisierung von "planaren regulären Sprachen"?

regular-languages finite-automata planar-graphs

— Hendrik Jan
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Auch das Problem, zu entscheiden, ob eine reguläre Sprache von einem planaren DFA erkannt werden kann, scheint schwer zu sein. Seine Entscheidbarkeit ist offen und es gibt Verbindungen zu offenen Problemen in der Graphentheorie.

— Denis

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Es ist nicht wahr, dass jeder DFA für diese Sprache nicht planar ist:

Hier ist eine Sprache, die wirklich nicht eben ist: Nehmen Sie einen beliebigen planaren FSA für diese Sprache. Wenn wir alle nicht erreichbaren Zustände entfernen, erhalten wir immer noch einen planaren Graphen. Jeder erreichbare Zustand hat sechs verschiedene ausgehende Kanten, was der bekannten Tatsache widerspricht, dass jeder ebene Graph einen Gradscheitelpunkt von höchstens fünf aufweist.

{x \in {σ_{1}, \dots, σ_{6}}^{*} | \sum_{ich = 1}^{6} ich #_{σ_{ich}} (x) \equiv 0 (\mod 7)} .

$\left\{ x \in \{\sigma_1,\ldots,\sigma_6\}^* \middle| \sum_{i=1}^6 i\#_{\sigma_i}(x) \equiv 0 \pmod 7 \right\}.$

— Yuval Filmus
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Das Konzept wurde bereits untersucht. (Sobald Sie die Antwort wissen, googeln Sie danach ...)

Zuerst gibt es alte Arbeiten von Book und Chandra mit der folgenden Zusammenfassung.

Zusammenfassung. Es wird gezeigt, dass es für jeden endlichen Automaten einen äquivalenten nichtdeterministischen Automaten mit einem planaren Zustandsgraphen gibt. Es gibt jedoch Automaten mit endlichen Zuständen ohne äquivalenten deterministischen Automaten mit einem planaren Zustandsgraphen.

Das gegebene Beispiel und die Argumentation ist genau die von Yuval in seiner Antwort!

Darüber hinaus berücksichtigen sie auch das binäre Alphabet.

Es gibt einen nichtplanaren deterministischen Automaten mit 35 Zuständen über einem Alphabet mit 2 Buchstaben.

Diese Arbeit wird erst kürzlich von Bonfante und Deloup fortgesetzt. Sie berücksichtigen topologische Einbettungen. Informell ist die Klasse eines Graphen die Anzahl der Löcher, die hinzugefügt werden müssen, um den Graphen in eine Oberfläche einzubetten, ohne die Kanten zu kreuzen. Graphen mit der Gattung Null sind planar. Dann ist die Gattung einer Sprache die minimale Gattung der Automaten für die Sprache.

Satz 9 (Gattungsbasierte Hierarchie). Es gibt reguläre Sprachen beliebig großer Gattungen.

In der Sektion "Automaten mit minimalem Zustand versus Automaten mit minimalem Genus" findet man das Ergebnis, dessen Beweis das erste von Yuval gegebene Beispiel ist (zehn Zustände, um die Sprache K5 mit fünf Zuständen planar zu machen).

Proposition 7. Es gibt deterministische Automaten mit einer Klasse, die strikt niedriger ist als die Klasse ihres entsprechenden Minimalautomaten.

G. Bonfante, F. Deloup: Die Gattung der regulären Sprachen, Mathematical Structures in Computer Science, 2018. Doi 10.1017 / S0960129516000037 . Auch ArXiv 1301.4981 (2013)

RV Book, AK Chandra, "Inherently Nonplanar Automata", Acta informatica 6 (1976) doi 10.1007 / BF00263745

— Hendrik Jan
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