Kieselproblem

Pebbling ist ein Solitairespiel, das auf einem ungerichteten Graphen , wobei jeder Scheitelpunkt null oder mehr Kieselsteine aufweist. Eine einzelne Kieselbewegung besteht darin, zwei Kieselsteine von einem Scheitelpunkt entfernen und einem beliebigen Nachbarn von einen Kieselstein hinzuzufügen . (Offensichtlich muss der Scheitelpunkt v vor dem Verschieben mindestens zwei Kieselsteine haben.) Das PebbleDestruction-Problem fragt bei gegebenem Diagramm und einer Kieselzahl für jeden Scheitelpunkt , ob es eine Sequenz gibt von Kieselbewegungen, die alle bis auf einen Kiesel entfernen. Beweisen Sie, dass PebbleDestruction NP-vollständig ist. $G$ $v$ $v$ $G = ( V; E )$ $p ( v )$ $v$

Zunächst zeige ich, dass es sich um NP handelt, da ich die Lösung in Polynomzeit überprüfen kann, indem ich die Kieselzahl von nur einem Kiesel zurückverfolge.

Was sind als nächstes einige Ideen, welche Probleme als Grundlage für eine Polynomzeitverkürzung verwendet werden sollen?

Würde so etwas wie Vertex Cover funktionieren? Oder eine Scheitelabdeckung unterschiedlicher Größe?

Wenn ja, wie kann es mit der unterschiedlichen Anzahl von Kieselsteinen bei jeder Bewegung umgehen?

Danke.

Von: http://courses.engr.illinois.edu/cs473/sp2011/hw/disc/disc_14.pdf

algorithms graph-theory np-complete

— TT
quelle

Ist es so einfach zu zeigen, dass das Problem in NP liegt? Kann die Anzahl der Züge in Bezug auf die Eingabegröße nicht exponentiell sein?

— Vinicius dos Santos

@ViniciusSantos, die Anzahl der Züge darf nicht größer sein als die Anzahl der Kieselsteine (die auch Teil der Eingabe sind).

Aber wir können davon ausgehen, dass die Anzahl der Kieselsteine binär ist, oder? In diesem Fall ist die Größe der Eingabe logarithmisch für die Anzahl der Kieselsteine. Ich denke immer noch, dass es ein kurzes Zertifikat für das Problem gibt, aber soweit ich weiß, ist die Liste der Züge keine.

— Vinicius dos Santos

@ViniciusdosSantos, Vielleicht haben Sie nicht bemerkt, dass das gesamte Diagramm als Eingabe dient. Andererseits sollte die Anzahl der Kieselsteine für jeden Scheitelpunkt (p (v)) durch die Größe des Diagramms begrenzt werden, andernfalls wird geprüft, ob eine Folge von Bewegungen vorliegt gültig oder nicht benötigt exponentiell. Und ich denke, es ist richtig anzunehmen, dass die Anzahl der Kieselsteine auf jedem Scheitelpunkt höchstens n beträgt.

Ich bin damit einverstanden, dass, wenn die Anzahl der Kieselsteine auf jedem Scheitelpunkt polynomiell durch die Größe des Graphen begrenzt ist, dies trivial in NP ist. Aber ich denke, diese Annahme ist nicht notwendig, obwohl ohne sie der Beweis schwieriger wird.

— Vinicius dos Santos

$G$ $v$ $p(v) = 2$ $G \space iff \space G$ $G$ $v$ $u$ $u$ $G$ $u$ $u$ $u$ $p(u) = 1$ $u=v$ $v$