Warum sollte die Breitensuche in der Zeit

Es wird oft gesagt (zB in Wikipedia ) , dass die Laufzeit der Breitensuche (BFS) auf einem Graph $G=(V,E)$ ist $O(|V|+|E|)$ . Jeder verbundene Graph hat jedoch $|V|\leq |E|+1$ und selbst in einem nicht verbundenen Diagramm betrachtet BFS niemals einen Scheitelpunkt außerhalb der Komponente, die den Startscheitelpunkt enthält. Diese Komponente enthält höchstens $|E|$ Kanten, so enthält es höchstens $|E|+1$ Eckpunkte, und dies sind die einzigen, die der Algorithmus besuchen wird.

Dies bedeutet, dass $|V|+|E|\leq 2|E|+1$ , warum sagen wir nicht, dass die Laufzeit nur $O(|E|)$ ?

_{Dies kam in Kommentaren zu einer Frage zur Laufzeit des Disjkstra-Algorithmus zum Ausdruck .}

algorithm-analysis search-algorithms

— David Richerby
quelle

Warum nehmen Sie an, dass es einen Startscheitelpunkt gibt? BFS bei maximalem Übereinstimmungsproblem beginnt beispielsweise mit allen nicht übereinstimmenden Eckpunkten im Hopcroft-Karp-Algorithmus. In diesem Fall, wenn der gegebene Graph

— eine Gesamtstruktur

@narekBojikian Während BFS auf verschiedene Arten verwendet werden kann, hat es als eigenständiger Algorithmus so gut wie immer einen Startscheitelpunkt.

— David Richerby

BFS wird normalerweise wie folgt beschrieben (aus Wikipedia ).

 1  procedure BFS(G,start_v):
 2      let Q be a queue
 3      label start_v as discovered
 4      Q.enqueue(start_v)
 5      while Q is not empty
 6          v = Q.dequeue()
 7          if v is the goal:
 8              return v
 9          for all edges from v to w in G.adjacentEdges(v) do
10             if w is not labeled as discovered:
11                 label w as discovered
12                 w.parent = v
13                 Q.enqueue(w)

Das Problem ist etwas subtil: Es versteckt sich in Zeile 3! Die Frage ist, welche Datenstruktur werden wir verwenden, um zu speichern, welche Eckpunkte entdeckt wurden?

false $\Theta(|V|)$ $|V|$ $|E|$ $O(|V|+|E|)$

$\Theta(|V|)$ $O(|V|\,|E|)$ $O(|E|^2)$ $|V|^4$ $|V|\,|E|\leq |V|^3$

$O(\log|V|)$ $O(|E|\log|V|)$

$c$ $|E|+1$ $c + 2c + 4c + \dots + 2|E|\leq 4|E|$ $O(1)$ $O(|E|)$

$O(|E|)$ $4|E|$ $O(|E|)$ $O(|V|+|E|)$

— David Richerby
quelle

Ich denke, es könnte zu stark sein, um zu behaupten, dass Hash-Tabellen in der Praxis eine schlechte Cache-Leistung haben. Wenn mit Verkettung (dh verknüpften Listen) implementiert, stimme ich zu. Aber wenn es mit einem kontinuierlichen Speicherblock und offener Adressierung implementiert wird, nicht so sehr.

— Juho

Wunderbare Antwort! Eine Randnotiz: Dynamisch große Hash-Tabellen sind in der Tat eine gute Wahl, nicht nur wenn es viele kleine Komponenten gibt, sondern auch, wenn der Hash-Wert für einen Scheitelpunkt durch eine vernünftige Konstante begrenzt ist, und dies kommt häufig vor. Schöne Antwort!

— Carlos Linares López

David, ich hatte vor Jahren ähnliche Gedanken. Ich denke, die Antwort liegt in historischen Perspektiven.

— Kelalaka