Kann eine FSA zählen?

Dies kann eine dumme Frage sein. Es scheint klar zu sein, dass eine FSA, da sie endlich ist, nur die Anzahl der Symbole in ihrer Eingabezeichenfolge bis zu einer durch die Anzahl ihrer Zustände begrenzten Anzahl zählen kann. Nehmen wir nun an, wir statten die FSA mit Ausgabefunktionen (z. B. Druckfunktionen) aus. Es wäre dann sehr einfach, eine Maschine zu konstruieren, die in der Lage ist, ein Symbol für jedes gelesene Symbol zu drucken. Würde das als Zählen gelten? Wenn nicht, warum nicht?

Um es stattdessen in FSTs auszudrücken: Ich gehe davon aus, dass es nicht möglich ist, eine FST zu konstruieren, die in der Lage ist, eine Zeichenfolge beliebiger Länge einer binären Darstellung (dh einer Zahl im Zahlensystem der Basis 2) ihrer Länge zuzuordnen. Aber es ist natürlich trivial, eine FST zu konstruieren, die in der Lage ist, eine Zeichenfolge beliebiger Länge einer Zeichenfolge der genannten Nullen (oder Einsen) derselben Länge zuzuordnen. Aber das könnte als Zählen gelten, nicht wahr? Weil die FST eine Darstellung der Länge ihrer Eingabe erstellt. Eine etwas seltsame Darstellung, aber immer noch eine Darstellung, nicht wahr?

Diese Frage ist etwas vage, daher hier eine vage Antwort: Das Übersetzen von Unary in Unary zählt nicht genau, da die Maschine "am Ende" nicht "weiß", wie groß die Eingabe war.

Sie erkennen dies natürlich, weshalb Sie die Tatsache in Frage stellen, dass es tatsächlich zählt.

Das Übersetzen von unär nach binär scheint jedoch eine weitaus fortgeschrittenere Operation zu sein, da es nicht nur Zählen, sondern auch Arithmetik beinhaltet.

Vielleicht ist der genauere Begriff, den man betrachten muss, anstatt zu zählen, der Vergleich . Das heißt, wenn zwei Zahlen (unär) und 1 m gegeben sind , bestimmen Sie, ob n = m ist .$1^n$$1^m$$n=m$

Die Fähigkeit, diesen Vergleich durchzuführen, führt zur berühmten nicht regulären Sprache . Und die Unfähigkeit einer NFA zu zählen macht diese Sprache unregelmäßig.$\{a^nb^n: n\ge 0\}$

Interessanterweise ist diese Sprache eine CFL. Tatsächlich kann das entsprechende Automatenmodell - PDAs - nur einen begrenzten Vergleich durchführen.

Wenn Sie über das Vergleichen sprechen, geben Wandler Ihnen keine zusätzliche Leistung mehr, sodass die Frage in diesem Sinne gelöst ist.

Ein zusätzlicher Hinweis: Ganz informell kann die Möglichkeit, zwei Zahlen zu vergleichen, häufig zur Simulation einer 2-Zähler-Maschine Minsky Machine verwendet werden , die TMs entspricht.

Nr endliche Automaten zählen nicht. Sie mögen Dinge tun, die so aussehen, aber sie können nicht zählen. Sie können sogar ein paar (fest verdrahtete) Berechnungen durchführen (z. B. feststellen, ob eine Binärzahl durch drei teilbar ist ), aber das zählt nicht.

Eine kleine Geschichte. Sie befinden sich auf einem großen rechteckigen Platz in einer berühmten Stadt. Die Einheimischen sagen Ihnen, dass der Platz tatsächlich quadratisch ist. Wenn Sie zählen können, überprüfen Sie, ob die horizontale und vertikale Anzahl der Kacheln übereinstimmt, indem Sie die Kacheln entlang der Seiten des Quadrats zählen. Wenn Sie nicht zählen können, können Sie den Anspruch dennoch überprüfen: Beginnen Sie an einer Ecke und gehen Sie diagonal. Wenn Sie genau die gegenüberliegende Ecke erreichen, haben Sie ein Quadrat.

In Ihrem Beispiel testet die fsa, ob eine Zeichenfolge die gleiche Anzahl von 's und b ' s hat, indem diese Zahlen auf zwei verschiedene Ausgabebänder verteilt werden. Ein anderes Gerät muss den endgültigen Vergleich durchführen, es sei denn, Sie haben einen Trick, um die Buchstaben a und b paarweise zu behandeln und gegeneinander zu drücken. Wie auf dem Platz.$a$$b$$a$$b$

Jetzt ein formelleres Modell zum Vergleichen. Nach dem Chomsky-Schützenberger-Theorem ist jede kontextfreie Sprache eine Umkehrung einer endlichen Zustandsübertragung T der Dyck-Sprache D 2 auf zwei Klammerpaaren L = T - 1 ( D 2 ) (es wird nicht so angegeben wie auf Wikipedia, aber du musst mir glauben). Nun kann der Finite-State-Wandler T seine kontextfreie Sprache L wie folgt "akzeptieren" (für jede Sprache seinen eigenen Wandler). Bei Eingabe transformiert T den String in die (erratene) Reihe von Pops und Pushs des pda für$L$$T$$D_2$$L = T^{-1}(D_2)$$T$$L$$T$ , dann teste, ob das Ergebnis ein Pushdown-Verhalten ist, dh das Ergebnis ist eine Zeichenfolge in D 2 . (Technische Details weggelassen, aber dies ist wie im Ch-Sch-Theorem behauptet: man hat w ∈ T - 1 ( D 2 ) wenn T ( w ) ∈ D 2 )$L$$D_2$$w\in T^{-1}(D_2)$$T(w) \in D_2$

Mein Punkt hier ist, dass einige "Berechnungen" vom Wandler durchgeführt werden, aber im Test mit viel Leistung verborgen ist . Ebenso Ihr Beispiel, bei dem zwei Buchstaben auf zwei Bändern sortiert sind. $D_2$

@Shaull: Danke für deine Antwort! Ich bin neu bei StackExchange und weiß nicht, wie ich eine Antwort kommentieren soll. Deshalb schreibe ich stattdessen eine Antwort, in der Hoffnung, dass mir vergeben wird.

Hmm, es scheint mir, dass ein Hirte zählt, der seine Schafe zählt, indem er für jedes Schaf, das er sieht, eine Markierung auf einen Zettel schreibt, oder ein Gefangener, der die Tage zählt, an denen er im Gefängnis war, indem er Markierungen an die Wand schreibt. Warum zählen n Markierungen auf einem Zettel oder an einer Wand nicht als Darstellung der Zahl n? Wird das nicht als Tally-Repräsentation bezeichnet? AFAICS ist einer binären Darstellung in keiner Weise unterlegen, außer dass sie mehr Platz benötigt.

Ich nehme an, dass "wissen" für Sie bedeutet, dass es am Ende eine interne Darstellung der Zählung gibt. Dann ist es natürlich offensichtlich, dass eine FSA von FST die Länge einer beliebigen Zeichenfolge nicht berechnen kann. Wenn wir jedoch kein Wissen in diesem Sinne benötigen, sondern nur verlangen, dass die FSA oder FST das Ergebnis einem externen Beobachter mitteilen kann, scheint es mir in Ordnung zu sein, die Zählung in einem Tally-Format darzustellen.

Wenn ein FSA sowohl mit inkrementellen Ein- als auch Ausgängen ausgestattet ist, sollte er im Prinzip in der Lage sein, seine externe Umgebung als Lese- / Schreibspeicher zu verwenden und somit so leistungsfähig wie eine Turing-Maschine zu sein. Richtig?

Vielen Dank, dass Sie den Fall des Vergleichs angesprochen haben. Nun scheint es so zu sein, dass wir, wenn wir die Anforderung einer internen Darstellung aufheben und nur verlangen, dass die Maschine das Ergebnis einem externen Beobachter präsentieren kann, leicht ein FSM erstellen könnten, das eine Art von erzeugen könnte grafische Darstellung des Ergebnisses. Angenommen, der FSM hat beim Lesen "aaaaaabbbbbb" geschrieben

000000
000000

Da die Balken gleich lang sind, hat der FSM die Zeichenfolge "aaaaaabbbbbb" akzeptiert. Zwei gleich lange Balken bedeuten "Ja", unterschiedliche Längen bedeuten "Nein".

Ich denke, ich verbiege die Regeln, aber das ist es, was ich will, da ich an den mehr oder weniger impliziten Annahmen interessiert bin, die auf dem Gebiet der mathematischen Linguistik gemacht werden.

FSMs können innerhalb eines endlichen Bereichs / einer endlichen Anzahl von Schritten "zählen", die durch Zustandsübergänge angezeigt werden . Sie können jedoch nicht über eine endliche Anzahl von Schritten hinaus zählen.

In gewisser Weise kann eine FSA-ähnliche Maschine zählen. Eine eng verwandte Maschine wird als Finite-State-Transducer bezeichnet . Der Wandler kann tatsächlich im Sinne eines "leitungsgebundenen" Eingangs und Ausgangs zählen. Ein einzelner Wandler kann eine Eingangssequenz (etwa binär) aufnehmen und in eine inkrementierte Ausgangssequenz "umwandeln". dann "verkettet" man die (identischen) Count-by-1-Wandler, wobei jeder seinen Eingang um 1 erhöht und ausgibt. Es ist auch wie ein rudimentärer "Streaming-Algorithmus" .