Können wir mit irrationalen Zahlen wie π und e Zufallszahlen erzeugen?

Irrationale Zahlen wie , und \ sqrt {2} haben eine eindeutige und sich nicht wiederholende Folge nach dem Komma. Wenn wir die n- te Ziffer aus solchen Zahlen extrahieren (wobei n die Anzahl der Aufrufe der Methode ist) und eine Zahl mit den Ziffern erstellen, wie sie ist, sollten wir dann keinen perfekten Zufallszahlengenerator erhalten? Wenn wir zum Beispiel \ sqrt {2} , e und \ pi verwenden , ist die erste Zahl 123, die zweite 471, die nächste 184 und so weiter.$\pi$$e$$\sqrt{2}$$n$$n$$\sqrt{2}$$e$$\pi$

Der offensichtlichste Nachteil ist die unnötige Komplexität von PRNG-Algorithmen, die auf irrationalen Zahlen basieren. Sie erfordern viel mehr Berechnungen pro erzeugter Ziffer als beispielsweise eine LCG; und diese Komplexität nimmt normalerweise zu, je weiter Sie in der Sequenz voranschreiten. Die Berechnung von 256 π-Bits beim Zwei-Billiarden-Bit dauerte auf 1000 Computern 23 Tage (im Jahr 2010) - eine ziemlich unerschwingliche Komplexität für ein RNG.

Für jede vernünftige Definition von perfekt ist der von Ihnen beschriebene Mechanismus kein perfekter Zufallszahlengenerator.

• Sich nicht zu wiederholen ist nicht genug. Die Dezimalzahl wiederholt sich nicht, ist jedoch ein schrecklicher Zufallsgenerator, da die Antwort "immer" null, gelegentlich eins und nie etwas anderes ist.$0.101001000100001\dots$

• Wir wissen nicht, ob jede Ziffer in der Dezimalerweiterung von oder  gleich häufig vorkommt (obwohl wir vermuten, dass dies der Fall ist).$\pi$$\mathrm{e}$

• In vielen Situationen müssen Zufallszahlen unvorhersehbar sein (wenn Sie eine zufällige Person fragen, was "zufällig" bedeutet, sagen sie wahrscheinlich etwas über Unvorhersehbarkeit aus). Die Ziffern bekannter Konstanten sind vollständig vorhersehbar.

• Normalerweise möchten wir Zufallszahlen relativ schnell generieren, aber die Generierung aufeinanderfolgender Ziffern mathematischer Konstanten ist in der Regel recht teuer.

• Es ist jedoch wahr, dass die Ziffern von und  statistisch zufällig aussehen, in dem Sinne, dass jede mögliche Ziffernfolge ungefähr so ​​oft vorkommt, wie sie sollte. So kommt zum Beispiel jede Ziffer fast einmal in zehn vor; Jede zweistellige Folge kommt einer von hundert sehr nahe und so weiter.$\pi$$\mathrm{e}$

Es ist kryptografisch nutzlos, da ein Gegner jede einzelne Ziffer vorhersagen kann. Es ist auch sehr zeitaufwendig.

( aktualisiert, nachdem viele Leute darauf hingewiesen haben, dass der Zufallszahlengenerator nicht dasselbe ist wie eine einzelne normale Sequenz.)

Wenn Sie fragen, ob Sie eine normale Folge von $\pi$ (dh alle Zahlen erscheinen einheitlich), dann gibt es mehrere Antworten auf mathoverflow. Die Antwort über die Verteilung der Ziffern von Pi lautet zum Beispiel:

... es wird angenommen, dass $\pi$ eine normale Zahl ist (~ gleichmäßige Verteilung jeder Ziffernfolge).

Informationen zur Verteilung der Ziffern finden Sie unter http://www.eveandersson.com/pi/precalculated-frequencies oder https://thestarman.pcministry.com/math/pi/RandPI.html (erste 1000 Ziffern):

Bei mathoverflow gibt es auch nette Antworten auf:

• Wie ist der Stand unserer Unwissenheit über die Normalität von Pi?
• Enthält pi 1000 aufeinanderfolgende Nullen?

Im Allgemeinen funktioniert dieser Ansatz nicht: "Zufälligkeit" bedeutet nicht, dass Sie viele verschiedene Ziffern erhalten, aber es gibt auch andere Aspekte. Ein klassischer Test besteht beispielsweise darin, festzustellen, ob alle zweistelligen oder dreistelligen usw. Kombinationen mit der gleichen Häufigkeit auftreten. Dies wäre ein sehr einfacher Test, der offensichtliche nicht-zufällige Ergebnisse ausschließen kann, aber immer noch viel zu simpel ist, um wirklich zufälliges Verhalten zu überprüfen.

Auf der Wikipedia-Seite über Zufallstests finden Sie eine Sammlung von Links zu diesbezüglichen Primärquellen. Sie erwähnen eine Menge ziemlich kompliziert klingender Konzepte; Es ist nicht so wichtig, sich eingehend damit zu befassen - aber es ist klar, dass es nicht intuitiv möglich ist, eine bestimmte Zahl als gute Quelle für solche Ziffern zu deklarieren.

Positiv zu vermerken: Für eine bestimmte irrationale Zahl können Sie diese natürlich auch einfach ausprobieren. dh, berechnen Sie die Zahl mit einer ausreichend großen Anzahl von Ziffern und führen Sie sie durch alle bekannten Tests (es gibt Werkzeuge dafür, siehe obigen Link). Wenn das Maß für Ihren Anwendungsfall gut genug ist und Sie wissen, dass dies für kryptografische Anwendungen offensichtlich nutzlos ist, und Sie immer die gleichen Zahlen erhalten, wenn Sie von vorne beginnen, und die Qualität sich möglicherweise verschlechtern kann, wenn Sie über die von nIhnen ausgewählten hinausgehen Zum Testen der Zufälligkeit können Sie diese Zahlen verwenden. Es ist jedoch weitaus besser, einen dedizierten (Pseudo-) Zufallszahlengenerator zu verwenden. und nichts geht über eine gute physikalische Quelle der Zufälligkeit.

Es liefert eine gute Zufallszahl, bis Sie erkennen, wie sie erzeugt wurde, wie bei vielen Pseudo-Zufallszahlen. Die irrationalen (nicht algebraischen und nicht transzendentalen) Zahlen, die Sie gewählt haben, sind häufig und lassen sich leichter erraten als andere. Ich sehe kein Problem mit dieser Methode, vorausgesetzt, Sie wählen weniger häufig gesehene Generatoren.