Suchen Sie einen Punkt, der von maximalen Segmenten geteilt wird

Gegeben: $N$ Segmente (Arrays) von geordneten ganzen Zahlen, ganze Zahlen könnten von bis . $-K$ $K$

Beispiel:

Segment 1: [-2,-1,0,1,2,3]
Segment 2: [1,2,3,4,5]
Segment 3: [-3,-2,-1,0,1]

Sie können sie als [min, max] darstellen --- es ist äquivalent:

Segment 1: [-2,3]
Segment 2: [1,5]
Segment 3: [-3,1]

Wie finde ich eine Ganzzahl, die zur maximalen Anzahl von Segmenten gehört? Für das gegebene Beispiel ist es 1.

Ich suche den effizientesten Algorithmus.

algorithms time-complexity arrays

— Vladimir Nabokov
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Antworten:

Verwenden wir , um den Anfang eines Segments zu bezeichnen, und , um das Ende zu bezeichnen. Erstellen Sie für jedes Segment zwei Paare, eines für jeden Endpunkt: $+$ $-$

Segment1: (-2, +), (3, -)
Segment2: (1, +), (5, -)
Segment3: (-3, +), (1, -)

Sortieren Sie die $2N$ Paare nach ihrer ersten Koordinate (bei Gleichheit + vor - setzen). Sie können dies rechtzeitig tun $O(N \log N)$ mit jedem vernünftigen Sortieralgorithmus oder rechtzeitig $O(N + K)$ Verwenden der schlüsselindizierten Zählung . Im Beispiel erhalten wir:

(-3, +)
(-2, +)
(1, +)
(1, -)
(3, -)
(5, -)

Verarbeiten Sie nun die Endpunkte der Reihe nach. Behalten Sie die Anzahl der aktiven Segmente bei, die anfänglich 0 ist. Jedes Mal, wenn Sie a verarbeiten $+$ Erhöhen Sie die Anzahl um 1. Jedes Mal, wenn Sie a verarbeiten $-$ Verringern Sie die Anzahl um 1. Überprüfen Sie nach der Verarbeitung jedes Endpunkts, ob die neue Anzahl höher ist als die bisher größte Anzahl. Wenn dies der Fall ist, aktualisieren Sie Ihre Lösung.

(-3, +) -> count=1, max_count=0, sol=-3
(-2, +) -> count=2, max_count=1, sol=-2
(1, +) -> count=3, max_count=2, sol=1
(1, -) -> count=2, max_count=3, sol=1
(3, -) -> count=1, max_count=3, sol=1
(5, -) -> count=0, max_count=3, sol=1

Diese zweite Phase des Algorithmus dauert zeitproportional $N$ . Der gesamte Algorithmus braucht Zeit $O(N \log N)$ mit einer generischen Sorte oder $O(N + K)$ mit schlüsselindizierter Zählung.

— Vincenzo
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Es gibt eine alternative Lösung mit Segmentbäumen. Die asymptotischen Kosten sind jedoch gleich.

— Vincenzo

Da Endpunkte begrenzte Ganzzahlen sind, können Sie sogar die Sortierphase überspringen und einfach die Anzahl der "In" und "Out" an jeder Position zählen (4 K Ganzzahlen).

— Optidad

@ Da Sie geschlossene / offene Intervallenden berücksichtigen müssen. Das ist die 4 in 4 K, denke ich?

— John Dvorak

Vielen Dank. Mein Problem, dass die Antwort wie ein Voodoo aussieht. Es löst das Problem, aber es gibt keine Erklärung, die es richtig erklären könnte. Versuchsweise erkläre ich es mir folgendermaßen: "Wenn wir von links nach rechts gehen, erhöhen wir die Anzahl, finden gemeinsame Punkte, während immer mehr Segmente wie eine Union beginnen und sich gegenseitig ergänzen. Wir gehen von rechts nach links das gleiche, aber erhöhen Sie den Zähler, wenn diese Richtung mehr gemeinsame Punkte als die vorherige Richtung enthält ... ", aber es ist ziemlich unklar, warum dieser" Richtungswettbewerb "das richtige Ergebnis bringt ... Nicht einfach ...

— Vladimir Nabokov

@VladimirNabokov, die Hauptidee ist, dass in der zweiten Phase die Zählvariable an einem bestimmten Punkt der Anzahl der Segmente entspricht, die diesen Punkt schneiden. Übrigens gibt es nur eine Durchquerung von links nach rechts. Ich denke, es wird leicht sein, den Algorithmus zu verstehen, wenn Sie zuerst verstehen, warum er nur für die Fälle eines Segments und nur für zwei Segmente funktioniert.

— Vincenzo

Erstellen wir ein Array der Größe 2 * k + 1, das alle mit 0 initialisiert ist. Für jedes Segment der Form [L, R] addieren wir 1 zum L- ^ten Index und subtrahieren 1 vom R + 1- ^ten Index.

Note : We add K to every values to shift the range from -K to +K to 0 to 2*K.

Um das Ergebnis zu erhalten, führen wir eine Präfixsumme durch.

array[i] = array[i-1] + array[i], where 1 <= i <= 2*K ( assuming 0-based indexing)

Sei ich der Index mit dem Maximalwert. Dann lautet die Antwort iK .
Lösen wir das gestellte Beispiel:

Let K = 5 and segments are [-2, 3], [1, 5] and [-3, 1]. Then after adding K the segments become
[3, 8], [6, 10] and [2, 6].
On performing the +1 and -1 updates our array will be
[0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, -1, 0, -1, 0, -1].
Prefix sum will result into 
[0, 0, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 1, 1, 0].
Hence the index with max value is 6 and hence answer will be 6 - 5 = 1.

Die zeitliche Komplexität des obigen Ansatzes beträgt O (max (N, K)) .

— Shiv Shankar
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