Anzahl der FLOPs (Gleitkommaoperationen) zur Potenzierung

Wie viele Gleitkommaoperationen sind erforderlich, um eine Exponentiation durchzuführen (Potenz von)?

Angenommen, die Multiplikation von zwei Floats verwendet eine FLOP, die Anzahl der Operationen für $x^n$ wird sein $n-1$. Gibt es jedoch einen schnelleren Weg, dies zu tun? Wie funktioniert es wenn$n$ ist keine ganze Zahl?

Angenommen, die Multiplikation zwischen zwei Zahlen verwendet eine FLOP, die Anzahl der Operationen für $x^n$ wird sein $n-1$. Gibt es jedoch einen schnelleren Weg, dies zu tun ...

Es gibt mit Sicherheit einen schnelleren Weg, dies für nicht negative ganzzahlige Potenzen zu tun. Zum Beispiel,$x^{14}=x^{8}x^{4}x^{2}$. Die Berechnung erfordert eine Multiplikation$x^2$, noch eine zu berechnen $x^4$, noch eine zu berechnen $x^8$und zwei weitere, um diese drei Zahlen zu multiplizieren. Dies legt einfache Kosten und einen einfachen Algorithmus nahe.

• Wandeln Sie die nicht negative ganzzahlige Potenz in Basis 2 um.
• Zählen Sie die Anzahl der Einsen in dieser Darstellung.
• Addieren Sie die Zweierpotenz, die dem höchstwertigen Nicht-Null-Bit in dieser Darstellung entspricht.
• Subtrahiere eins.

Dies ergibt einen präzisen Algorithmus für jede nicht negative ganzzahlige Leistung. Dieser Algorithmus ist der effizienteste bis zu$x^{14}$. Dieser Algorithmus schlägt vor, dass zur Berechnung sechs Multiplikationen erforderlich sind$x^{15}$ schon seit $x^{15}=x^8x^4x^2x$. 15 ist jedoch 120 in Basis 3 und 30 in Basis 5, was beide impliziert, dass nur fünf Multiplikationen zur Berechnung benötigt werden$x^{15}$:: $x^{15}=(x^3)^4x^3$ von der Basis drei Darstellung, und $x^{15}=(x^5)^3$von der Basis fünf Darstellung. Die minimale Anzahl von Multiplikationen, die zur Berechnung benötigt werden$x^n$ wo $n$ist eine nicht negative ganze Zahl ist in der Tat ein NP-vollständiges Problem . Aber es ist viel weniger als$n-1$ Multiplikationen.

... und wie funktioniert es wenn $n$ ist keine ganze Zahl?

Es gibt einige Tricks, die man anwenden kann, wenn $n$ist eine rationale. Doch wenn$x$ ist echt und $n$ist ein nicht negativer Real, muss man auf Approximationstechniken zurückgreifen. (Zum Beispiel werden Approximationstechniken bei der Berechnung zweimal verwendet$\exp(n\ln(x))$.)

Die Verwendung von n-1-Multiplikationen wäre ziemlich dumm. Wenn zum Beispiel n = 1024 ist, quadrieren Sie nur zehnmal. Der schlimmste Fall ist 2 * log_2 (n). In Donald Knuth, Kunst der Computerprogrammierung, finden Sie einige Details, wie Sie dies schneller tun können. Es gibt einige Situationen, wie n = 1023, in denen Sie x zehnmal quadrieren und x ^ 1024 geben und dann durch x dividieren würden.

Sie können die Formel verwenden

Wenn Sie nur Multiplikationen verwenden möchten, wann $n$ist eine natürliche Zahl, die Sie durch wiederholtes Quadrieren verwenden können$O(\log n)$Multiplikationen. Für andere$n$Multiplikation allein reicht nicht aus.

Die Leute haben dir gesagt, was wann passiert $n$ ist eine ganze Zahl.

In Bezug auf, wenn es nicht, es kann nicht einmal existieren , einen Weg Floating-Point - Potenzierung überhaupt zu tun.

Es heißt Table-Maker's Dilemma und besagt, dass die benötigte Speichermenge unbegrenzt ist:

Es gibt keine allgemeine Möglichkeit, vorherzusagen, wie viele zusätzliche Ziffern getragen werden müssen, um einen transzendentalen Ausdruck zu berechnen und ihn korrekt auf eine vorab zugewiesene Anzahl von Ziffern zu runden.
Sogar die Tatsache (falls zutreffend), dass eine endliche Anzahl zusätzlicher Ziffern letztendlich ausreicht, kann ein tiefer Satz sein.

Wenn Sie das Problem ernst nehmen, versuchen Sie möglicherweise nicht, eine Lösung mit der geringsten Anzahl von Multiplikationen, sondern mit der niedrigsten Ausführungszeit zu finden.

Stellen Sie sich ein Modell vor, bei dem Sie in jedem Zyklus eine Multiplikation starten können, aber jede Multiplikation eine feste Anzahl von Zyklen benötigt, z. B. 3 Zyklen. Eine Methode zur Berechnung von x ^ n mit k Multiplikationen kann 3k Zyklen dauern (wenn jede Multiplikation von einem Ergebnis abhängt, das kurz zuvor berechnet wurde), während eine Methode mit mehr Multiplikationen möglicherweise schneller ausgeführt wird.

Zum Beispiel: Um x ^ 15 zu berechnen, können Sie in dieser Reihenfolge x ^ 2 = x * x, x ^ 3 = (x ^ 2) * x, x ^ 6 = (x ^ 3) ^ 2, x ^ 7 berechnen = x ^ 6 * x, x ^ 14 = (x ^ 7) ^ 2, x ^ 15 = x ^ 14 * x. Sechs Multiplikationen, die jedoch jeweils von der vorherigen abhängen.

Oder Sie berechnen x ^ 2, x ^ 4 = (x ^ 2) ^ 2, x ^ 3 = x ^ 2 * x, x ^ 5 = (x ^ 4) * x, x ^ 15 = x ^ 5 * x ^ 3, Sie haben also nur vier Multiplikationen, abhängig von den vorherigen Ergebnissen.