Die Rekursion

Ich betrachte die Wiederholung die die Laufzeit eines nicht spezifizierten Algorithmus beschreibt (Basisfälle werden nicht geliefert).

$$T(n) = T(n/2) + T(n/3) + n,$$

Unter Verwendung der Induktion fand ich, dass , aber es wurde mir gesagt, dass dies nicht eng ist. Nehmen wir in der Tat induktiv an, dass für alle (und ausreichend große Werte von ) gilt$T(n) = O(n\log n)$$T(k) \leq Ck\log k$$k<n$$k$

$$\begin{align*} T(n)&\leq C\frac{n}{2}\log\frac{n}{2} + C\frac{n}{3}\log \frac{n}{3} + n\\ &= C\frac{5}{6}n\log n - n(C/2+C\log3/3 - 1). \end{align*}$$

Jetzt wähle ich groß genug für , und so wird der letzte Ausdruck von dominiert .$C$$(C/2+C\log3/3 - 1) > 0$$C\frac{5}{6}n\log n\leq Cn\log n$

Meine erste Frage ist, was ist eine engere Bindung daran?

Zweitens habe ich versucht, die Akra-Bazzi-Methode zu verwenden, um dies zu lösen. Lassen Sie also lösen. Dann ist ungefähr und (mit ) erhalte ich und so weiter$p$

$$\left(\frac{1}{2}\right)^p + \left(\frac{1}{3}\right)^p = 1.$$ $p=0.79$$g(n) = n$ $$\int_1^n \frac{g(u)}{u^{p+1}} du = \int_1^n \frac{1}{u^{p}} du = \frac{1}{1-p}(n^{1-p}-1),$$

$$T(n) = \Theta\left(n^p\left(1+\frac{1}{1-p}(n^{1-p}-1)\right)\right).$$

Dies entspricht , also insgesamt , da . Meine zweite Frage ist, dass ich nicht wirklich glaube, dass linear ist. Was ist also bei meiner Anwendung von Akra-Bazzi schief gelaufen?$\Theta(n^p + \frac{1}{1-p}n-\frac{1}{1-p}n^p)$$\Theta(n)$$p<1$$T$

Freundliche Grüße.

Wenn und , können wir zeigen, dass durch Induktion.$T(1)\le 6$$T(2)\le 12$$T(n)\le 6n$

$$T(n) = T(n/2) + T(n/3) + n \le 6(n/2)+ 6(n/3)+n= 6n.$$

Allgemeiner sei eine Konstante, so dass und , dann können wir routinemäßig beweisen, dass . Obwohl es Ihnen unglaublich erscheinen mag, ist es wahr, dass $c\gt6$$T(1)\le c$$T(2)\le 2c$$T(n)\le cn$

$$T(n)=O(n).$$

Intuitiv sind die Terme und nicht groß genug, um auf eine Potenz von eines größeren Exponenten anzuheben , da .$\dfrac12+\dfrac13\lt1$$T(n/2)$$T(n/3)$$n$$n$

Es ist nichts Falsches an Ihrer Anwendung der Akra-Bazzi-Methode, die uns sagt, dass .$T(n)=\Theta(n)$

Sei . Dann erfüllt die Wiederholung Insbesondere wenn erfüllt, dann ist würde implizieren . Dies ist bei allen der Fall .$S(n) = T(n)/n$$S(n)$

$$S(n) \leq \frac{1}{2} S\left(\frac{n}{2}\right) + \frac{1}{3} S\left(\frac{n}{3}\right) + 1.$$ $C$ $$\frac{1}{2} C + \frac{1}{3} C + 1 \leq C$$ $S(n/2),S(n/3) \leq C$$S(n) \leq C$$C \geq 6$