Anzahl der Wörter einer bestimmten Länge in einer regulären Sprache

Gibt es eine algebraische Charakterisierung der Anzahl der Wörter einer bestimmten Länge in einer regulären Sprache?

Wikipedia gibt ein etwas ungenaues Ergebnis an:

Für jede reguläre Sprache existieren Konstanten und Polynome so dass für jedes die Anzahl von gilt Wörter der Länge in erfüllen die Gleichung .λ 1$L$p 1 ( x ) $\lambda_1,\,\ldots,\,\lambda_k$n s L ( n ) n L s L ( n ) = p 1 ( n ) λ n 1 + ⋯ + p k ( n ) λ n $p_1(x),\,\ldots,\,p_k(x)$$n$$s_L(n)$$n$$L$$s_L(n)=p_1(n)\lambda_1^n+\dotsb+p_k(n)\lambda_k^n$

Es wird nicht angegeben, in welchem ​​Raum die leben ( , nehme ich an) und ob die Funktion nichtnegative ganzzahlige Werte für . Ich hätte gerne eine genaue Aussage und eine Skizze oder einen Hinweis für den Beweis.C $\lambda$$\mathbb{C}$$\mathbb{N}$

Bonusfrage: Ist das Umgekehrte wahr, dh gibt es bei einer Funktion dieser Form immer eine reguläre Sprache, deren Anzahl der Wörter pro Länge dieser Funktion entspricht?

_{Diese Frage verallgemeinert die Anzahl der Wörter in der regulären Sprache$(00)^*$}

Wenn eine reguläre Sprache , betrachten Sie einige DFA als L akzeptierend , lassen Sie A seine Übertragungsmatrix sein ( A i j ist die Anzahl der Kanten, die von Zustand i zu Zustand j führen ), lassen Sie x den charakteristischen Vektor des Anfangszustands sein und lassen Sie y sei der charakteristische Vektor der akzeptierenden Zustände. Dann ist s L ( n ) = x T A n y $L$$L$$A$$A_{ij}$$i$$j$$x$$y$

$$s_L(n) = x^T A^n y.$$

Jordan-Theorem besagt , dass über die komplexen Zahlen, eine Matrix mit Blöcken von einem der Formen ähnlich ist ( λ ) , ( λ 1 0 λ ) , ( λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ ) , ( λ 1 0 0 0 λ 1 0 0 0 λ 1 0 0 0 λ ) , … Wenn λ ≠ 0 , dann ist das $A$

$$\begin{pmatrix} \lambda \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}, \ldots$$ $\lambda \neq 0$$n$Die Potenzen dieser Blöcke sind Hier ist , wie wir in diesen Formeln bekam: den Block als schreiben . Aufeinanderfolgende Potenzen von sind aufeinanderfolgende sekundäre Diagonalen der Matrix.B=λ+NNλNBn=(λ+n)N=λn+nλn-1N+( $$\begin{pmatrix} \lambda^n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ 0 & \lambda^n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda^n & n\lambda^{n-1} & \binom{n}{2} \lambda^{n-2} \\ 0 & \lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ 0 & 0 & \lambda^n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda^n & n\lambda^{n-1} & \binom{n}{2}\lambda^{n-2} & \binom{n}{3}\lambda^{n-3} \\ 0 & \lambda^n & n\lambda^{n-1} & \binom{n}{2}\lambda^{n-2} \\ 0 & 0 & \lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ 0 & 0 & 0 & \lambda^n \end{pmatrix}, \ldots$$ $B = \lambda + N$$N$$\lambda$pendelt mit ), Wenn , ist der Block nullpotent und wir erhalten die folgenden Matrizen (die Notation ist wenn und sonst ): $N$ $$B^n = (\lambda + n)^N = \lambda^n + n \lambda^{n-1} N + \binom{n}{2} \lambda^{n-2} N^2 + \cdots.$$ $\lambda = 0$$[n = k]$$1$$n=k$$0$ $$\begin{pmatrix} [n=0] \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} [n=0] & [n=1] \\ 0 & [n=0] \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} [n=0] & [n=1] & [n=2] \\ 0 & [n=0] & [n=1] \\ 0 & 0 & [n=0] \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} [n=0] & [n=1] & [n=2] & [n=3] \\ 0 & [n=0] & [n=1] & [n=2] \\ 0 & 0 & [n=0] & [n=1] \\ 0 & 0 & 0 & [n=0] \end{pmatrix}$$

Zusammenfassend hat jeder Eintrag in entweder die Form oder die Form , und wir schließen daraus, dass für einige komplexe und komplexe Polynome . Insbesondere für die groß genug , um , Dies ist die genaue Angabe des Ergebnisses.$A^n$$\binom{n}{k} \lambda^{n-k}$$[n=k]$

$$s_L(n) = \sum_i p_i(n) \lambda_i^n + \sum_j c_j [n=j],$$ $\lambda_i,c_j$$p_i$$n$ $$s_L(n) = \sum_i p_i(n) \lambda_i^n.$$

Wir können weiterhin asymptotische Informationen über , aber dies ist überraschenderweise nicht trivial. Wenn es ein eindeutiges der größten Größe gibt, sagen wir , dann ist Komplizierter wird es, wenn es mehrere der größten Größenordnung gibt. Es kommt also vor, dass ihr Winkel rational sein muss (dh bis zur Größe sind sie Wurzeln der Einheit). Wenn die LCM der Nenner , dann wird die Asymptotik von sehr nach dem Rest von Modulo . Für einige dieser Reste gilt$s_L(n)$$\lambda_i$$\lambda_1$

$$s_L(n) = p_1(n) \lambda_1^n (1 + o(1)).$$ $\lambda$$d$$s_L$$n$$d$$\lambda$s mit der größten Größe werden gelöscht, und dann "fällt" die Asymptotik ab, und wir müssen diese Prozedur wiederholen. Der interessierte Leser kann die Details in Flajolet und Sedgewicks Analytic Combinatorics , Theorem V.3, nachlesen. Sie beweisen, dass für einige ganze Zahlen und Zahlen , $d$$p_0,\ldots,p_{d-1}$$\lambda_0,\ldots,\lambda_{d-1}$ $$s_L(n) = n^{p_{n\pmod{d}}} \lambda_{n\pmod{d}}^n (1 + o(1)).$$

Sei eine reguläre Sprache und$L \subseteq \Sigma^*$

$\qquad \displaystyle L(z) = \sum\limits_{n \geq 0} |L_n|z^n$

seine Erzeugungsfunktion , wobei und damit .$L_n = L \cap \Sigma^n$$|L_n|=s_L(n)$

Es ist bekannt , daß ist rational , also$L(z)$

$\qquad \displaystyle \frac{P(z)}{Q(z)}$

mit Polynome; Dies ist am einfachsten zu sehen, wenn eine rechtslineare Grammatik für in ein (lineares!) Gleichungssystem übersetzt wird, dessen Lösung .L L ( z $P,Q$$L$$L(z)$

Die Wurzeln von sind im Wesentlichen für, was zu dem auf Wikipedia angegebenen Formular führt. Dies hängt unmittelbar mit der Methode der charakteristischen Polynome zur Lösung von Wiederholungen zusammen (über die Wiederholung, die ).| L n | ( | L n | ) n ≤ $Q$$|L_n|$$(|L_n|)_{n \in \mathbb{N}}$