Wenn

Sagen Sie, $L \subseteq \{0\}^*$ . Wie können wir dann beweisen, dass$L^*$ regelmäßig ist?

Wenn $L$ regulär ist, dann ist natürlich auch $L^*$ regulär. Wenn $L$ endlich ist, dann ist es regulär und wieder ist $L^*$ regulär. Ich habe auch bemerkt , dass für $L = \{0^p \mid p \text{ is a prime}\}$ , $L$ ist nicht regulär, $L \subseteq \{0\}^*$ und $L^*$ regulär.

Aber wie zeigt man das für eine Teilmenge $L$ von $\{0\}^*$ ?

Es sei angenommen, dass zwei Wörter w 1 und w 2 enthält, so dass die Längen dieser Wörter, | w 1 | und | w 2 | , haben keine gemeinsamen Faktoren. Dann haben wir, dass das längste Wort, das nicht durch Verketten dieser Wörter gebildet werden kann, die Länge ( | w 1 | - 1 ) ( | w 2 $L$$w_1$$w_2$$|w_1|$$|w_2|$ (Frobenius-Zahl) hat$(|w_1|-1)(|w_2|-1) - 1$). Das heißt, wenn es Wörter in der Sprache gibt, deren Längen keinen gemeinsamen Faktor haben, dann sind alle Wörter mit einer bestimmten minimalen Länge in der Sprache . Es ist leicht einzusehen, dass dies regelmäßig ist, da es unter der Myhill-Nerode-Ununterscheidbarkeitsrelation notwendigerweise eine begrenzte Anzahl von Äquivalenzklassen gibt.$L^*$

Was ist, wenn die Längen aller Wörter in einen gemeinsamen Faktor haben? Nun, es ist nicht schwer zu erkennen, dass L ∗ in solchen Fällen auch regelmäßig ist. Man beachte einfach, dass statt aller Wörter, deren Länge größer als eine minimale Länge in L ∗ ist, alle Wörter, deren Länge ein Vielfaches der GCD der Wortlängen ist, in L ∗ sind und keine Wörter, deren Länge ist sind keine Vielfachen dieser GCD werden, und da ( L k ) ∗ für jede ganze Zahl k regulär ist$L$$L^*$$L^*$$L^*$$(L^k)^*$$k$ regulär ist , ist auch regulär.$L^*$

Das ist ziemlich informell, aber alles, was Sie brauchen, um dies zu formalisieren, sollte hier sein.

Die Grundidee ist, dass in einer Sprache, die auf einem Ein-Buchstaben-Alphabet basiert, jedes ausreichend lange Wort eine Verkettung kürzerer Wörter ist. Wenn Sie also ein Wort in L ∗ nehmen , dh eine Verkettung von Wörtern in L , gibt es einen Kern ˚ L, so dass w eine Verkettung von Wörtern in ˚ L ist . Also ist L ∗ = ˚ L ∗ . Es stellt sich heraus, dass ˚ L endlich ist, daher ist es und L $w$$L^*$$L$$\mathring{L}$$w$$\mathring{L}$$L^* = \mathring{L}^*$$\mathring{L}$$L^*$ regelmäßig.

Lasse eine Teilmenge von seinen L und w einem Wort in L . w kann als eine Verkettung von Wörtern in L iff | ausgedrückt werden w | kann als eine Summe von Elementen von S ⊂ N ausgedrückt werden, wobei S die Menge von Wortlängen in M ist . Daher reduziert sich das Problem auf das Ausdrücken einer Ganzzahl als Summe von Ganzzahlen in einer bestimmten Menge (wobei Wiederholungen zulässig sind): can | w | ausgedrückt werden als k 1 s 1 + … + k m $M$$L$$w$$L$$w$$L$$|w|$$S \subset \mathbb{N}$$S$$M$$|w|$ mit$k_1 s_1 + \ldots + k_m s_m$ und k 1 ∈ N ?$\forall i, s_i \in S$$k_1 \in \mathbb{N}$

Dies ist ein bekanntes Problem in der Arithmetik, und die Antwort lautet, dass, wenn die Koeffizienten negativ sein können ( k i ≤ Z ), | w | ausdrückbar ist genau dann , wenn es sich um ein Mehrfaches des größten gemeinsamen Teiler der Elemente ist S : gcd S . Bei einer Anforderung für nicht-negative Koeffizienten gilt dies noch für hinreichend großen | w | .$(k_i)$$k_i \in \mathbb{Z}$$|w|$$S$$\gcd S$$|w|$

Betrachten Sie die unendliche Folge definiert durch g i = gcd ( S ∩ [ 0 , i ] ) . Dies ist eine abnehmende Folge von ganzen Zahlen (beginnend mit g min S = min S , ist also nach einem bestimmten Index j konstant ; und g j = gcd S. Nach dem chinesischen Restsatz kann jedes Element von S als k 1 ausgedrückt werden s $(g_i)_{i\ge\min S}$$g_i = \gcd (S \cap [0,i])$$g_{\min S} = \min S$$j$$g_j = \gcd S$$S$ mit ∀ i , k i ∈ Z und { s 1 , … , s m } = S ∪ [ 0 , j ] . Wenn x ∈ S und x ≥ s 1 ⋅ … ⋅ s $k_1 s_1 + \ldots + k_m s_m$$\forall i, k_i \in \mathbb{Z}$$\{s_1, \ldots, s_m\} = S \cup [0,j]$$x \in S$$x \ge s_1 \cdot \ldots \cdot s_m$ ist, können Sie alle nicht negativen Koeffizienten auswählen.

Genug der Arithmetik. Sei . Jedes Wort in L kann als eine Verkettung von Wörtern in L ausgedrückt werden, deren Länge höchstens g j beträgt , dh L ⊆ ˚ L ∗ . Da wir auch ˚ L ⊆ L haben , haben wir L ∗ = ˚ L ∗ , was regulär ist, da ˚ L endlich und daher regulär ist.$\mathring{L} = \{w \in L \mid |w| \le g_j\}$$L$$L$$g_j$$L \subseteq \mathring{L}^*$$\mathring{L} \subseteq L$$L^* = \mathring{L}^*$$\mathring{L}$

Verwenden Sie alternativ die Charakterisierung regulärer Sprachen in Alphabeten mit einem Buchstaben .