Herausforderung
Finden Sie die kleinste Abdeckung von Basen (z. B. Modulen), deren quadratische Restmengen über eine Tabellensuche getestet werden können, um definitiv zu bestimmen, ob eine gegebene nicht negative ganze Zahl n ein perfektes Quadrat ist oder nicht . Die Basen müssen alle kleiner oder gleich der Quadratwurzel des Maximalwerts von n sein .
Die Antwort mit dem kleinsten Satz von Basen für eine gegebene Kategorie von n gewinnt die Herausforderung. (Dies bedeutet, dass es möglicherweise mehr als einen Gewinner gibt.) Die Kategorien von n sind:
Category Maximum allowed n Maximum allowed modulus/base
------------- -------------------- ----------------------------
8-bit values 255 15
16-bit values 65535 255
32-bit values 4294967295 65535
64-bit values 18446744073709551615 4294967295
Im Falle eines Gleichstands mit zwei Sätzen mit gleicher Kardinalität geht der Gleichstand zu dem Satz mit der größeren Fähigkeit, Nichtquadrate früher in der Sequenz zu erkennen.
Für den Fall, dass keine vollständigen Abdeckungen gefunden werden (was für die 32-Bit- und 64-Bit-Kategorien durchaus wahrscheinlich ist), ist der Gewinner der Satz von Basen, der statistisch oder nachweislich den höchsten Prozentsatz an Nicht-Quadraten ausschließt (ohne falsch Quadrate als Nichtquadrate melden). Im Folgenden finden Sie eine Erläuterung unvollständiger Abdeckungen.
Hintergrund
In vielen Anwendungen der Zahlentheorie stellt sich die Frage, ob eine Zahl n ein perfektes Quadrat ist oder nicht (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 usw.). Eine Möglichkeit , zu prüfen , ob n quadratisch ist zu prüfen , ob Boden (√n) ² = n, das heißt, ob die abgerundeten-down Quadratwurzel n , wenn quadriert, gibt zurück n . Zum Beispiel ist Boden (√123) ² = 11² = 121, was nicht 123 ist, also ist 123 nicht quadratisch; aber Boden (√121) ² = 11² = 121, also ist 121 quadratisch. Diese Methode funktioniert gut für kleine Zahlen, insbesondere wenn eine Hardware-Quadratwurzeloperation verfügbar ist. Bei großen Zahlen (Hunderte oder Tausende von Bits) kann dies jedoch sehr langsam sein.
Eine andere Möglichkeit, die Rechtwinkligkeit zu testen, besteht darin, Nichtquadrate mithilfe quadratischer Resttabellen auszuschließen. Zum Beispiel müssen alle Quadrate in Basis 10 eine letzte Ziffer (Einstellen) haben, die entweder 0, 1, 4, 5, 6 oder 9 ist. Diese Werte bilden die Menge der quadratischen Reste für Basis 10. Wenn also eine Basis -10 Anzahl Ende in 0, 1, 4, 5, 6 oder 9, wissen Sie , dass es vielleicht quadratisch sein und eine weitere Prüfung erforderlich. Wenn eine Basis-10-Zahl jedoch mit 2, 3, 7 oder 8 endet, können Sie sicher sein, dass sie nicht quadratisch ist.
Schauen wir uns also eine andere Basis an. Alle Quadrate in Basis 8 müssen mit 0, 1 oder 4 enden, was zweckmäßigerweise nur 3 von 8 Möglichkeiten ist, was eine 37,5% ige Chance bedeutet, dass eine Zufallszahl möglicherweise quadratisch ist, oder eine 62,5% ige Chance, dass eine Zufallszahl definitiv nicht quadratisch ist. Das sind viel bessere Chancen als die Basis 10. (Und beachten Sie, dass eine Operation mit dem Basis-8-Modul einfach eine logische Operation ist, im Gegensatz zum Basis-10-Modul, der mit dem Rest durch 10 geteilt wird.)
Gibt es noch bessere Basen? Na ja, eigentlich. Die Basis 120 bietet 18 Möglichkeiten (0, 1, 4, 9, 16, 24, 25, 36, 40, 49, 60, 64, 76, 81, 84, 96, 100 und 105), was nur 15% entspricht. Chance, möglicherweise quadratisch zu sein. Und Basis 240 ist noch besser, mit nur 24 Möglichkeiten, was nur eine 10% ige Chance darstellt, möglicherweise quadratisch zu sein.
Aber keine einzelne Basis allein kann die Rechtwinkligkeit definitiv bestimmen (es sei denn, sie ist größer als die maximal getestete Anzahl, was äußerst unpraktisch ist). Eine einzige Basis allein kann nur ausschließen Rechtwinkligkeit; es kann die Rechtwinkligkeit nicht endgültig überprüfen . Nur ein sorgfältig ausgewählter Satz von Basen, die zusammenarbeiten, kann die Rechtwinkligkeit über einen Bereich von ganzen Zahlen endgültig überprüfen.
Die Frage lautet also: Welche Basen bilden eine minimale Abdeckung, die zusammen den endgültigen Abzug von Rechtwinkligkeit oder Nicht-Rechtwinkligkeit ermöglichen?
Beispiel für eine korrekte, aber nicht minimale Abdeckung
Die Abdeckung mit 16 Basen {3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37} reicht aus, um die Rechtwinkligkeit oder Nicht-Rechtwinkligkeit von definitiv zu bestimmen alle 16-Bit-Werte 0 bis 65535. Es handelt sich jedoch nicht um eine minimale Abdeckung, da mindestens eine 15-Basis-Abdeckung vorhanden ist, die ebenfalls leicht erkennbar ist. In der Tat ist es wahrscheinlich, dass weitaus kleinere Abdeckungen existieren - vielleicht mit nur 6 oder 7 Basen.
Zur Veranschaulichung werfen wir einen Blick auf das Testen eines Beispielwerts von n mit diesem 16-Basis-Abdeckungssatz. Hier sind die Sätze quadratischer Reste für den obigen Satz von Basen:
Base m Quadratic residue table specific to base m
------ ----------------------------------------------------
3 {0,1}
4 {0,1}
5 {0,1,4}
7 {0,1,2,4}
8 {0,1,4}
9 {0,1,4,7}
11 {0,1,3,4,5,9}
13 {0,1,3,4,9,10,12}
16 {0,1,4,9}
17 {0,1,2,4,8,9,13,15,16}
19 {0,1,4,5,6,7,9,11,16,17}
23 {0,1,2,3,4,6,8,9,12,13,16,18}
25 {0,1,4,6,9,11,14,16,19,21,24}
29 {0,1,4,5,6,7,9,13,16,20,22,23,24,25,28}
31 {0,1,2,4,5,7,8,9,10,14,16,18,19,20,25,28}
37 {0,1,3,4,7,9,10,11,12,16,21,25,26,27,28,30,33,34,36}
Testen wir nun die Zahl n = 50401 mit diesem Satz von Basen, indem wir sie in jede Basis umwandeln. (Dies ist nicht die effizienteste Methode, um Rückstände zu untersuchen, aber es reicht zu Erklärungszwecken aus.) Es ist die Stelle der 1, an der wir hier interessiert sind (unten in Klammern angegeben):
Base "Digits" in base m
m m^9 m^8 m^7 m^6 m^5 m^4 m^3 m^2 m^1 ( m^0 )
---- -----------------------------------------------------------------
3 2 1 2 0 0 1 0 2 0 ( 1 ) ✓
4 3 0 1 0 3 2 0 ( 1 ) ✓
5 3 1 0 3 1 0 ( 1 ) ✓
7 2 6 6 6 4 ( 1 ) ✓
8 1 4 2 3 4 ( 1 ) ✓
9 7 6 1 2 ( 1 ) ✓
11 3 4 9 5 ( 10 )
13 1 9 12 3 ( 0 ) ✓
16 12 4 14 ( 1 ) ✓
17 10 4 6 ( 13 ) ✓
19 7 6 11 ( 13 )
23 4 3 6 ( 8 ) ✓
25 3 5 16 ( 1 ) ✓
29 2 1 26 ( 28 ) ✓
31 1 21 13 ( 26 )
37 36 30 ( 7 ) ✓
Wir können also sehen, dass in 13 dieser Basen der Rest mit einem bekannten quadratischen Rest übereinstimmt (in der Tabelle als "Treffer" bezeichnet), und in 3 dieser Basen stimmt der Rest nicht mit einem bekannten quadratischen Rest überein (nennen Sie dies a "Fräulein"). Alles was es braucht ist 1 Fehler, um zu wissen, dass eine Zahl nicht quadratisch ist, also könnten wir bei 11 anhalten, aber zur Veranschaulichung haben wir alle 16 Basen hier untersucht.
Beispiel einer unvollständigen Deckung
Technisch gesehen ist ein unvollständiges Cover kein Cover, aber das ist nebensächlich. Die Menge der Basen {7, 8, 11, 15} deckt fast alle 8-Bit-Werte von n von 0 bis 255 korrekt ab, aber nicht ganz. Insbesondere werden 60 und 240 fälschlicherweise als quadratisch identifiziert (dies sind falsch positive Ergebnisse) - es werden jedoch alle tatsächlichen Quadrate (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 8) korrekt identifiziert. 100, 121, 144, 169, 196 und 225) und macht keine anderen falsch positiven Ergebnisse. Dies ist also ein 4er-Set, das als Lösung fast erfolgreich ist, aber letztendlich fehlschlägt, weil eine unvollständige Abdeckung keine gültige Lösung ist.
Für 8-Bit n ist der Satz von Basen {7, 8, 11, 15} einer von zwei Sätzen von 4 Basen, die zwei Fehler erzeugen, und es gibt sieben Sätze von 4 Basen, die nur einen Fehler erzeugen. Es gibt tatsächlich keine Sätze von 4 Basen, die eine vollständige und genaue Abdeckung von 8-Bit-Werten bilden. Können Sie einen Satz von 5 Basen finden, die keine Fehler erzeugen und alle 8-Bit-Werte korrekt abdecken? Oder brauchst du 6 oder mehr? (Ich kenne die Antwort für 8-Bit n , aber ich werde sie nicht verraten. Ich kenne die Antwort für 16-Bit, 32-Bit oder 64-Bit nicht und ich glaube sogar die 16- Bit-Fälle können nicht mit Brute-Force-Suche gelöst werden. Das Lösen der 32-Bit- und 64-Bit-Fälle erfordert sicherlich genetische, heuristische oder andere Suchtechniken.)
Ein Kommentar zu kryptografisch großen Zahlen
Abgesehen von 64-Bit-Zahlen - bis zu Hunderten oder Tausenden von Binärziffern - ist hier eine schnelle Rechtwinkligkeitsprüfung am nützlichsten, selbst wenn das Cover unvollständig ist (was mit Sicherheit für wirklich große Zahlen der Fall sein wird). Wie könnte ein solcher Test auch dann noch nützlich sein, wenn er nicht ausreichend entscheidend ist? Stellen Sie sich vor, Sie hatten einen extrem schnellen Test auf Rechtwinkligkeit, der in 99,9% der Fälle korrekt funktionierte und in den verbleibenden 0,1% der Fälle falsch negative Ergebnisse lieferte und niemals falsch positive Ergebnisse lieferte. Mit einem solchen Test könnten Sie fast sofort feststellen, dass eine Zahl nicht rechtwinklig ist, und in Ausnahmefällen der Unentschlossenheit könnten Sie dann auf eine langsamere Methode zurückgreifen, um das Unbekannte auf andere Weise aufzulösen. Dies würde Ihnen viel Zeit sparen.
Zum Beispiel ist die Menge {8, 11, 13, 15} 99,61% der Zeit für 8-Bit-Werte von n von 0 bis 255 korrekt, 95,98% der Zeit für 16-Bit-Werte von n von 0 bis korrekt 65535 und ist in 95,62% der Fälle für 24-Bit-Werte von n von 0 bis 16777215 korrekt. Wenn n gegen unendlich geht, sinkt der Prozentsatz der Korrektheit für diesen Satz von Basen, aber er nähert sich asymptotisch und fällt nie unter 95,5944% Richtigkeit.
Selbst dieser sehr kleine Satz von 4 kleinen Basen ist nützlich, um etwa 22 von 23 willkürlich großen Zahlen fast sofort als Nichtquadrate zu identifizieren, sodass keine weitere Überprüfung dieser Zahlen mit langsameren Methoden erforderlich ist. Die langsameren Methoden müssen dann nur in wenigen Fällen angewendet werden, die durch diesen Schnelltest nicht ausgeschlossen werden konnten.
Es ist interessant festzustellen, dass einige 16-Bit-Basen allein mehr als 95% erreichen. Tatsächlich kann jede der folgenden Basen besser als 97% aller Zahlen bis unendlich als nicht quadratisch aussortieren. Der für jede dieser Basen festgelegte quadratische Rest kann als gepacktes Bit-Array mit nur 8192 Bytes dargestellt werden.
Hier sind die 10 mächtigsten Einzelbasen unter 2 ^ 16:
Rank Base Prime factorization Weeds out
---- ------------------------------ ---------
1. 65520 = 2^4 x 3^2 x 5 x 7 x 13 97.95%
2. 55440 = 2^4 x 3^2 x 5 x 7 x 11 97.92%
3. 50400 = 2^5 x 3^2 x 5^2 x 7 97.56%
4. 52416 = 2^6 x 3^2 x 7 x 13 97.44%
5. 61200 = 2^4 x 3^2 x 5^2 x 17 97.41%
6. 44352 = 2^6 x 3^2 x 7 x 11 97.40%
7. 63360 = 2^7 x 3^2 x 5 x 11 97.39%
8. 60480 = 2^6 x 3^3 x 5 x 7 97.38%
9. 63840 = 2^5 x 3 x 5 x 7 x 19 97.37%
10. 54720 = 2^6 x 3^2 x 5 x 19 97.37%
Sehen Sie etwas Interessantes, das diese Basen alle gemeinsam haben? Es gibt keinen Grund zu der Annahme, dass sie in Kombination nützlich sein könnten (vielleicht sind sie es, vielleicht sind sie es nicht), aber es gibt hier einige gute Hinweise darauf, welche Basen für die größeren Kategorien von Zahlen wahrscheinlich am einflussreichsten sind.
Nebenherausforderung: Eine der einflussreichsten Basen (wenn nicht die meisten) bis zu 2 ^ 28 ist 245044800, die allein 99,67% der Nichtquadrate oder etwa 306 von 307 darauf geworfenen Zufallszahlen korrekt aussortieren kann. Können Sie die einflussreichste Einzelbasis unter 2 ^ 32 finden?
verbunden
In den folgenden Fragen finden Sie einige sehr nette Ideen, die eng miteinander verbunden sind, sowie einige Tricks zur Mikrooptimierung, um bestimmte Vorgänge schneller zu machen. Obwohl die verknüpften Fragen nicht speziell darauf abzielen, die stärksten Basen zu finden, ist die Idee starker Basen implizit zentral für einige der dort verwendeten Optimierungstechniken.