Dies ist die Sequenz A054261

Die te Primzahl ist die niedrigste Zahl, die die ersten Primzahlen als Teilzeichenfolgen enthält. Zum Beispiel ist die Zahl die niedrigste Zahl, die die ersten 3 Primzahlen als Teilzeichenfolgen enthält, was sie zur dritten Primzahl macht.$n$$n$$235$

Es ist trivial herauszufinden, dass die ersten vier Primzahlen , , und , aber dann wird es interessanter. Da die nächste Primzahl 11 ist, ist die nächste Primzahl nicht , sondern da sie als die kleinste Zahl mit der Eigenschaft definiert ist.$2$$23$$235$$2357$$235711$$112357$

Die eigentliche Herausforderung ergibt sich jedoch, wenn Sie über 11 hinausgehen. Die nächste Primzahl lautet . Beachten Sie, dass sich in dieser Nummer die Teilzeichenfolgen und überlappen. Die Nummer überschneidet sich auch mit der Nummer .$113257$1113313

Es ist leicht zu beweisen, dass diese Folge zunimmt, da die nächste Zahl alle Kriterien der Zahl davor erfüllen und eine weitere Teilzeichenfolge haben muss. Die Sequenz nimmt jedoch nicht unbedingt zu, wie die Ergebnisse für n=10und zeigen n=11.

Herausforderung

Ihr Ziel ist es, so viele Primzahlen wie möglich zu finden. Ihr Programm sollte sie in einer geordneten Weise ausgeben, beginnend mit 2 bis hinauf.

Regeln

1. Sie dürfen Primzahlen fest codieren.
2. Es ist Ihnen nicht gestattet, Primzahlen (dies 2ist die einzige Ausnahme) oder magische Zahlen, die die Herausforderung trivial machen , fest zu codieren . Bitte sei nett.
3. Sie können eine beliebige Sprache verwenden. Bitte fügen Sie eine Liste von Befehlen hinzu, um die Umgebung für die Ausführung des Codes vorzubereiten.
4. Sie können sowohl CPU als auch GPU verwenden und Multithreading verwenden.

Wertung

Die offizielle Wertung stammt von meinem Laptop (Dell XPS 9560). Ihr Ziel ist es, innerhalb von 5 Minuten so viele Primzahlen wie möglich zu generieren.

Technische Daten

• 2,8 GHz Intel Core i7-7700HQ (3,8 GHz Boost) 4 Kerne, 8 Threads.
• 16 GB 2400 MHz DDR4-RAM
• NVIDIA GTX 1050
• Linux Mint 18.3 64-Bit

Die bisher gefundenen Zahlen, zusammen mit der letzten zur Zahl hinzugefügten Primzahl:

 1 =>                                                       2 (  2)
 2 =>                                                      23 (  3)
 3 =>                                                     235 (  5)
 4 =>                                                    2357 (  7)
 5 =>                                                  112357 ( 11)
 6 =>                                                  113257 ( 13)
 7 =>                                                 1131725 ( 17)
 8 =>                                               113171925 ( 19)
 9 =>                                              1131719235 ( 23)
10 =>                                            113171923295 ( 29)
11 =>                                            113171923295 ( 31)
12 =>                                           1131719237295 ( 37)
13 =>                                          11317237294195 ( 41)
14 =>                                        1131723294194375 ( 43)
15 =>                                      113172329419437475 ( 47)
16 =>                                     1131723294194347537 ( 53)
17 =>                                   113172329419434753759 ( 59)
18 =>                                  2311329417434753759619 ( 61)
19 =>                                231132941743475375961967 ( 67)
20 =>                               2311294134347175375961967 ( 71)
21 =>                              23112941343471735375961967 ( 73)
22 =>                             231129413434717353759619679 ( 79)
23 =>                           23112941343471735359619678379 ( 83)
24 =>                         2311294134347173535961967837989 ( 89)
25 =>                        23112941343471735359619678378979 ( 97)
26 =>                      2310112941343471735359619678378979 (101)
27 =>                    231010329411343471735359619678378979 (103)
28 =>                 101031071132329417343475359619678378979 (107)
29 =>              101031071091132329417343475359619678378979 (109)
30 =>              101031071091132329417343475359619678378979 (113)
31 =>           101031071091131272329417343475359619678378979 (127)
32 =>           101031071091131272329417343475359619678378979 (131)
33 =>         10103107109113127137232941734347535961967838979 (137)
34 =>      10103107109113127137139232941734347535961967838979 (139)
35 =>   10103107109113127137139149232941734347535961967838979 (149)
36 => 1010310710911312713713914923294151734347535961967838979 (151)

Vielen Dank an Ardnauld, Ourous und japh für die Erweiterung dieser Liste.

Beachten Sie, dass n = 10und n = 11dieselbe Nummer sind, da die niedrigste Nummer ist, die alle Nummern , aber auch .$113171923295$$[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29]$$31$

Als Referenz können Sie die Tatsache verwenden, dass das ursprüngliche Python-Skript, das ich geschrieben habe, um diese Liste oben zu generieren, die ersten 12 Terme in ungefähr 6 Minuten berechnet.

Zusätzliche Regeln

Nachdem die ersten Ergebnisse eingegangen sind, habe ich festgestellt, dass es eine gute Chance gibt, dass die besten Ergebnisse die gleiche Punktzahl haben. Im Falle eines Unentschieden ist der Gewinner derjenige, der die kürzeste Zeit hat, um sein Ergebnis zu erzielen. Wenn zwei oder mehr Antworten gleich schnell zu Ergebnissen führen, ist dies einfach ein Sieg.

Schlussbemerkung

Die 5-minütige Laufzeit soll nur eine faire Wertung gewährleisten. Ich wäre sehr gespannt, ob wir die OEIS-Sequenz weiter vorantreiben können (im Moment enthält sie 17 Zahlen). Mit Ourous 'Code habe ich bis alle Zahlen generiert n = 26, aber ich plane, den Code für einen längeren Zeitraum laufen zu lassen.

Anzeigetafel

1. Python 3 + Google OR-Tools : 169
2. Scala : 137 (inoffiziell)
3. Concorde TSP-Löser : 84 (inoffiziell)
4. C ++ (GCC) + x86-Assembly : 62
5. Sauber : 25
6. JavaScript (Node.js) : 24

Python 3 + Google OR-Tools , Punktzahl 169 in 295 Sekunden (offizielle Punktzahl)

Wie es funktioniert

Zeichnen Sie nach dem Verwerfen redundanter Primzahlen, die in anderen Primzahlen enthalten sind, einen gerichteten Graphen mit einer Kante von jeder Primzahl zu jedem Suffix mit dem Abstand Null und einer Kante zu jeder Primzahl von jedem Präfix, wobei der Abstand durch die Anzahl der hinzugefügten Ziffern definiert wird . Wir suchen den lexikografisch ersten kürzesten Weg durch den Graphen, beginnend mit dem leeren Präfix, über jeden Prim (aber nicht unbedingt durch jedes Präfix oder Suffix) und endend mit dem leeren Suffix.

Beispielsweise sind hier die Kanten des optimalen Pfades ε → 11 → 1 → 13 → 3 → 31 → 1 → 17 → ε → 19 → ε → 23 → ε → 29 → ε → 5 → ε für n = 11 entsprechend auf die Ausgabezeichenfolge 113171923295.

Verglichen mit der einfachen Reduktion auf das Problem des Handlungsreisenden ist zu beachten, dass durch die indirekte Verbindung der Primzahlen über diese zusätzlichen Suffix- / Präfixknoten anstelle einer direkten Verbindung die Anzahl der zu berücksichtigenden Kanten drastisch reduziert wurde. Da die zusätzlichen Knoten jedoch nicht genau einmal durchlaufen werden müssen, handelt es sich nicht mehr um eine Instanz von TSP.

Wir verwenden den inkrementellen CP-SAT-Constraint-Löser von Google OR-Tools, um zuerst die Gesamtlänge des Pfads und dann jede Gruppe hinzugefügter Ziffern in der angegebenen Reihenfolge zu minimieren. Wir initialisieren das Modell nur mit lokalen Einschränkungen: Jeder Prim steht vor einem Suffix und folgt einem Präfix, während jedem Suffix / Präfix die gleiche Anzahl von Primzahlen vorangeht und folgt. Das resultierende Modell kann getrennte Zyklen enthalten. In diesem Fall fügen wir dynamisch zusätzliche Konnektivitätsbeschränkungen hinzu und führen den Solver erneut aus.

Code

import multiprocessing
from ortools.sat.python import cp_model


def superstring(strings):
    def gen_prefixes(s):
        for i in range(len(s)):
            a = s[:i]
            if a in affixes:
                yield a

    def gen_suffixes(s):
        for i in range(1, len(s) + 1):
            a = s[i:]
            if a in affixes:
                yield a

    def solve():
        def find_string(s):
            found_strings.add(s)
            for i in range(1, len(s) + 1):
                a = s[i:]
                if (
                    a in affixes
                    and a not in found_affixes
                    and solver.Value(suffix[s, a])
                ):
                    found_affixes.add(a)
                    q.append(a)
                    break

        def cut(skip):
            model.AddBoolOr(
                skip
                + [
                    suffix[s, a]
                    for s in found_strings
                    for a in gen_suffixes(s)
                    if a not in found_affixes
                ]
                + [
                    prefix[a, s]
                    for s in unused_strings
                    if s not in found_strings
                    for a in gen_prefixes(s)
                    if a in found_affixes
                ]
            )
            model.AddBoolOr(
                skip
                + [
                    suffix[s, a]
                    for s in unused_strings
                    if s not in found_strings
                    for a in gen_suffixes(s)
                    if a in found_affixes
                ]
                + [
                    prefix[a, s]
                    for s in found_strings
                    for a in gen_prefixes(s)
                    if a not in found_affixes
                ]
            )

        def search():
            while q:
                a = q.pop()
                for s in prefixed[a]:
                    if (
                        s in unused_strings
                        and s not in found_strings
                        and solver.Value(prefix[a, s])
                    ):
                        find_string(s)
            return not (unused_strings - found_strings)

        while True:
            if solver.Solve(model) != cp_model.OPTIMAL:
                raise RuntimeError("Solve failed")

            found_strings = set()
            found_affixes = set()
            if part is None:
                found_affixes.add("")
                q = [""]
            else:
                part_ix = solver.Value(part)
                p, next_affix, next_string = parts[part_ix]
                q = []
                find_string(next_string)
            if search():
                break

            if part is not None:
                if part_ix not in partb:
                    partb[part_ix] = model.NewBoolVar("partb%s_%s" % (step, part_ix))
                    model.Add(part == part_ix).OnlyEnforceIf(partb[part_ix])
                    model.Add(part != part_ix).OnlyEnforceIf(partb[part_ix].Not())
                cut([partb[part_ix].Not()])
                if last_string is None:
                    found_affixes.add(next_affix)
                else:
                    find_string(last_string)
                q.append(next_affix)
                if search():
                    continue

            cut([])

    solver = cp_model.CpSolver()
    solver.parameters.num_search_workers = 4
    affixes = {s[:i] for s in strings for i in range(len(s))} & {
        s[i:] for s in strings for i in range(1, len(s) + 1)
    }
    prefixed = {}
    for s in strings:
        for a in gen_prefixes(s):
            prefixed.setdefault(a, []).append(s)
    suffixed = {}
    for s in strings:
        for a in gen_suffixes(s):
            suffixed.setdefault(a, []).append(s)
    unused_strings = set(strings)
    last_string = None
    part = None

    model = cp_model.CpModel()
    prefix = {
        (a, s): model.NewBoolVar("prefix_%s_%s" % (a, s))
        for a in affixes
        for s in prefixed[a]
    }
    suffix = {
        (s, a): model.NewBoolVar("suffix_%s_%s" % (s, a))
        for a in affixes
        for s in suffixed[a]
    }
    for s in strings:
        model.Add(sum(prefix[a, s] for a in gen_prefixes(s)) == 1)
        model.Add(sum(suffix[s, a] for a in gen_suffixes(s)) == 1)
    for a in affixes:
        model.Add(
            sum(suffix[s, a] for s in suffixed[a])
            == sum(prefix[a, s] for s in prefixed[a])
        )

    length = sum(prefix[a, s] * (len(s) - len(a)) for a in affixes for s in prefixed[a])
    model.Minimize(length)
    solve()
    model.Add(length == solver.Value(length))

    out = ""
    for step in range(len(strings)):
        in_parts = set()
        parts = []
        for a in [""] if last_string is None else gen_suffixes(last_string):
            for s in prefixed[a]:
                if s in unused_strings and s not in in_parts:
                    in_parts.add(s)
                    parts.append((s[len(a) :], a, s))
        parts.sort()
        part = model.NewIntVar(0, len(parts) - 1, "part%s" % step)
        partb = {}
        for part_ix, (p, a, s) in enumerate(parts):
            if last_string is not None:
                model.Add(part != part_ix).OnlyEnforceIf(suffix[last_string, a].Not())
            model.Add(part != part_ix).OnlyEnforceIf(prefix[a, s].Not())
        model.Minimize(part)
        solve()
        part_ix = solver.Value(part)
        model.Add(part == part_ix)
        p, a, last_string = parts[part_ix]
        unused_strings.remove(last_string)
        out += p
    return out


def gen_primes():
    yield 2
    n = 3
    d = {}
    for p in gen_primes():
        p2 = p * p
        d[p2] = 2 * p
        while n <= p2:
            if n in d:
                q = d.pop(n)
                m = n + q
                while m in d:
                    m += q
                d[m] = q
            else:
                yield n
            n += 2


def gen_inputs():
    num_primes = 0
    strings = []

    for new_prime in gen_primes():
        num_primes += 1
        new_string = str(new_prime)
        strings = [s for s in strings if s not in new_string] + [new_string]
        yield strings


with multiprocessing.Pool() as pool:
    for i, out in enumerate(pool.imap(superstring, gen_inputs())):
        print(i + 1, out, flush=True)

Ergebnisse

Hier sind die ersten 1000 Primzahlen , die in 1½ Tagen auf einem 8-Core / 16-Thread-System berechnet wurden.

C ++ (GCC) + x86-Assembly, Ergebnis _{32 36} 62 in 259 Sekunden (offiziell)

Bisher berechnete Ergebnisse. Mein Computer hat danach keinen Speicher mehr 65.

1 2
2 23
3 235
4 2357
5 112357
6 113257
7 1131725
8 113171925
9 1131719235
10 113171923295
11 113171923295
12 1131719237295
13 11317237294195
14 1131723294194375
15 113172329419437475
16 1131723294194347537
17 113172329419434753759
18 2311329417434753759619
19 231132941743475375961967
20 2311294134347175375961967
21 23112941343471735375961967
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23 23112941343471735359619678379
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62 10103107109127131371491515716316717321139223322772293239241792518191932572632692819728343475359619989
63 1010307107109127131371491515716316717321139223322772293239241792518191932572632692819728343475359619989
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Diese stimmen alle mit der Ausgabe des Concorde-basierten Lösers überein , sodass sie gute Chancen haben, korrekt zu sein.

Änderungsprotokoll:

• Falsche Berechnung der benötigten Kontextlänge. Die frühere Version war 1 zu groß und hatte auch einen Fehler. Prüfungsergebnis: 32 34

• Optimierung für gleiche Kontextgruppen hinzugefügt. Prüfungsergebnis: 34 36

• Überarbeitung des Algorithmus zur korrekten Verwendung kontextfreier Zeichenfolgen sowie einiger anderer Optimierungen. Prüfungsergebnis: 36 62

• Fügte eine korrekte Beschreibung hinzu.

• Primzahlvariante hinzugefügt.

Wie es funktioniert

Warnung: Dies ist ein Brain Dump. Scrollen Sie bis zum Ende, wenn Sie nur den Code möchten.

Abkürzungen:

• PCN : Problem mit der Primary- Containment-Nummer, dh diese Herausforderung
• SCS : kürzester gemeinsamer Superstring
• TSP : Problem mit Handlungsreisenden

Dieses Programm verwendet grundsätzlich den dynamischen Programmieralgorithmus des Lehrbuchs für den TSP.

1. Plus eine Reduzierung von PCN / SCS, dem eigentlichen Problem, auf TSP.
2. Verwenden Sie außerdem Elementkontexte anstelle aller Ziffern in jedem Element.
3. Außerdem wird das Problem anhand von Primzahlen unterteilt, die sich nicht mit den Enden anderer Primzahlen überschneiden können.
4. Plus Zusammenführen von Berechnungen für Primzahlen mit den gleichen Start- / Endziffern.
5. Dazu kommen vorberechnete Nachschlagetabellen und eine benutzerdefinierte Hash-Tabelle.
6. Plus einige Low-Level-Prefetching und Bit-Packing.

Das sind viele potenzielle Fehler. Nachdem ich mit Anselms Eintrag herumgespielt und keine falschen Ergebnisse herausgefordert habe, sollte ich zumindest beweisen, dass mein Gesamtansatz korrekt ist.

Obwohl die Concorde-basierte Lösung (viel, viel) schneller ist, basiert sie auf derselben Reduzierung, sodass diese Erklärung für beide gilt. Zusätzlich kann diese Lösung für OEIS A054260 angepasst werden , die Prim-enthaltende Primsequenz ; Ich weiß nicht, wie ich das im TSP-Framework effizient lösen soll. Es ist also immer noch etwas relevant.

TSP-Reduzierung

Beginnen wir damit, zu beweisen, dass die Reduzierung auf TSP richtig ist. Wir haben eine Reihe von Zeichenfolgen, sagen wir

A = 13, 31, 37, 113, 137, 211

und wir wollen den kleinsten Superstring finden, der diese Elemente enthält.

Die Länge zu kennen ist genug

Wenn es für die PCN mehrere kürzeste Zeichenfolgen gibt, müssen wir die lexikografisch kleinste zurückgeben. Wir werden uns jedoch ein anderes (und einfacheres) Problem ansehen.

• SCS : Suchen Sie mit einem Anfangspräfix und einer Reihe von Elementen nach einer kürzesten Zeichenfolge, die alle Elemente als Teilzeichenfolgen enthält, und beginnen Sie mit diesem Präfix.
• SCS-Länge : Finden Sie einfach die Länge des SCS.

Wenn wir die SCS-Länge lösen können, können wir die kleinste Lösung rekonstruieren und die PCN erhalten. Wenn wir wissen, dass die kleinste Lösung mit unserem Präfix beginnt, versuchen wir, es zu erweitern, indem wir jedes Element in lexikografischer Reihenfolge anhängen und erneut nach der Länge suchen. Wenn wir den kleinsten Artikel finden, für den die Lösungslänge gleich ist, wissen wir, dass dies der nächste Artikel in der kleinsten Lösung sein muss (warum?), Also fügen Sie ihn hinzu und verwenden Sie die restlichen Artikel. Diese Methode zum Erreichen der Lösung wird als Selbstreduktion bezeichnet .

Rundgang durch den Maximalüberlappungsgraphen

Angenommen, wir haben begonnen, SCS für das obige Beispiel von Hand zu lösen. Wir würden wahrscheinlich:

• Befreie dich von 13und 37, weil sie bereits Teilzeichenfolgen der anderen Elemente sind. Jede Lösung, die 137beispielsweise enthält , muss auch 13und enthalten 37.
• Starten Sie die Kombinationen unter Berücksichtigung 113,137 → 1137, 211,113 → 2113usw.

Dies ist in der Tat das Richtige, aber wir wollen es der Vollständigkeit halber beweisen. Nehmen Sie eine SCS-Lösung. beispielsweise Superstring ein kürzester für AIS

2113137

und es kann in eine Verkettung aller Elemente in zerlegt werden A:

211
 113
   31
    137

(Wir ignorieren die überflüssigen Elemente 13, 37.) Beachten Sie Folgendes:

1. Die Start- und Endpositionen jedes Gegenstands erhöhen sich um mindestens 1.
2. Jeder Artikel überlappt sich so weit wie möglich mit dem vorherigen Artikel.

Wir werden zeigen, dass jeder kürzeste Superstring folgendermaßen zerlegt werden kann:

1. Für jedes Paar benachbarter Elemente x,y, ybeginnt und endet in späteren Positionen als x. Ist dies nicht der Fall, handelt es sich entweder xum eine Teilzeichenfolge von yoder umgekehrt. Wir haben jedoch bereits alle Elemente entfernt, die Teilzeichenfolgen sind, sodass dies nicht passieren kann.

2. Angenommen, benachbarte Elemente in der Sequenz haben weniger als die maximale Überlappung, z . B. 21113anstelle von 2113. Aber das würde das Extra 1überflüssig machen. Kein späteres Element benötigt das Initial 1(wie in 2 1 113), da es früher auftritt 113und alle Elemente, die danach erscheinen, 113nicht mit einer Ziffer davor beginnen können 113(siehe Punkt 1). Ein ähnliches Argument verhindert, dass das letzte Extra 1(wie in 211 1 3) von einem vorherigen Element verwendet wird 211. Unser kürzester Superstring wird jedoch definitionsgemäß keine redundanten Ziffern haben, sodass solche nicht maximalen Überlappungen nicht auftreten.

Mit diesen Eigenschaften können wir jedes SCS-Problem in einen TSP konvertieren:

1. Entfernen Sie alle Elemente, die Teilzeichenfolgen anderer Elemente sind.
2. Erstellen Sie einen gerichteten Graphen mit einem Scheitelpunkt für jedes Element.
3. Für jedes Paar von Elementen x, yhinzufügen, eine Kante von xzu ydessen Gewicht die Anzahl der zusätzlichen Symbole hinzugefügt durch Anhänge yan xmit maximaler Überlappung. Zum Beispiel würden wir eine Kante von 211bis 113mit der Gewichtung 1 2113hinzufügen , weil eine weitere Ziffer hinzugefügt wird 211. Wiederholen Sie dies für die Kante von ybis x.
4. Fügen Sie einen Scheitelpunkt für das Anfangspräfix und Kanten von diesem zu allen anderen Elementen hinzu.

Jeder Pfad in diesem Diagramm ab dem anfänglichen Präfix entspricht einer maximalen Überlappungsverkettung aller Elemente auf diesem Pfad, und die Gesamtgewichtung des Pfads entspricht der Länge der verketteten Zeichenfolge. Daher entspricht jede Tour mit dem geringsten Gewicht, die alle Elemente mindestens einmal besucht, einem kürzesten Superstring.

Und das ist die Reduzierung von SCS (und SCS-Length) auf TSP.

Dynamischer Programmieralgorithmus

Dies ist ein klassischer Algorithmus, aber wir werden ihn ziemlich modifizieren, deshalb hier eine kurze Erinnerung.

(Ich habe dies als Algorithmus für SCS-Length anstelle von TSP geschrieben. Sie sind im Wesentlichen gleichwertig, aber das SCS-Vokabular hilft, wenn wir zu den SCS-spezifischen Optimierungen gelangen.)

Rufen Sie die Menge der Eingabeelemente Aund das angegebene Präfix auf P. Für jede k-Element-Teilmenge Sin Aund jedes Element evon Sberechnen wir die Länge der kürzesten Zeichenfolge, die mit beginnt , alle Elemente Penthält Sund mit endet e. Dies beinhaltet das Speichern einer Tabelle von Werten (S, e)bis zu ihren SCS-Längen.

Wenn wir zu jeder Teilmenge kommen S, muss die Tabelle bereits die Ergebnisse S - {e}für all ein enthalten S. Da die Tabelle sehr groß werden kann, berechne ich die Ergebnisse für alle k-Element-Teilmengen k+1usw. Dazu müssen wir nur die Ergebnisse für kund k+1zu einem bestimmten Zeitpunkt speichern . Dies reduziert die Speichernutzung um einen Faktor von ungefähr sqrt(|A|).

Noch ein Detail: Anstatt die minimale SCS-Länge zu berechnen, berechne ich tatsächlich die maximale Gesamtüberlappung zwischen den Elementen. (Um die SCS-Länge zu erhalten, subtrahieren Sie einfach die Gesamtüberlappung von der Summe der Längen der Elemente.) Die Verwendung von Überlappungen hilft bei einigen der folgenden Optimierungen.

[2.] Gegenstandskontexte

Ein Kontext ist das längste Suffix eines Elements, das sich mit folgenden Elementen überschneiden kann. Wenn unsere Artikel sind 113,211,311, dann 11ist der Kontext für 211und 311. (Es ist auch der Präfix-Kontext für 113, den wir uns in Teil [4.] ansehen werden.)

Im obigen DP-Algorithmus haben wir die SCS-Lösungen verfolgt, die mit jedem Element enden, aber es ist uns eigentlich egal, in welchem ​​Element ein SCS endet. Wir müssen nur den Kontext kennen. Wenn beispielsweise zwei SCSs für den gleichen Satz in 23und enden 43, funktioniert jeder SCS, der von einem fortfährt, auch für den anderen.

Dies ist eine signifikante Optimierung, da nicht-triviale Primzahlen nur mit den Ziffern enden 1 3 7 9. Die vier einstelligen Kontexte 1,3,7,9(plus der leere Kontext) reichen tatsächlich aus, um die PCNs für Primzahlen bis zu zu berechnen 131.

[3.] Kontextfreie Elemente

Andere haben bereits darauf hingewiesen, dass viele Primzahlen mit den Ziffern beginnen 2,4,5,6,8, wie z 23,29,41,43.... Keines davon kann sich mit einem vorherigen Prim überschneiden (abgesehen von 2und 5können Primzahlen nicht mit diesen Ziffern enden 2und 5wurden bereits als redundant entfernt). Im Code werden diese als kontextfreie Zeichenfolgen bezeichnet .

Wenn unsere Eingabe kontextfreie Elemente enthält, kann jede SCS-Lösung in Blöcke aufgeteilt werden

<prefix>... 23... 29... 41... 43...

und die Überlappungen in jedem Block sind unabhängig von den anderen Blöcken. Wir können die Blöcke mischen oder Elemente zwischen Blöcken mit demselben Kontext austauschen, ohne die SCS-Länge zu ändern.

Daher müssen wir nur die möglichen Mehrfachmengen von Kontexten verfolgen , eine für jeden Block.

Vollständiges Beispiel: Für die Primzahlen unter 100 haben wir 11 kontextfreie Elemente und deren Kontexte:

23 29 41 43 47 53 59 61 67 83 89
 3  9  1  3  7  3  9  1  7  3  9

Unser anfänglicher Multiset-Kontext:

1 1 3 3 3 3 7 7 9 9 9

Der Code bezeichnet diese als kombinierte Kontexte oder c- Kontexte . Dann müssen wir nur Teilmengen der verbleibenden Elemente berücksichtigen:

11 13 17 19 31 37 71 73 79 97

[4.] Zusammenführen von Kontexten

Sobald wir zu Primzahlen mit 3 oder mehr Ziffern kommen, gibt es mehr Redundanzen:

 101 151 181 191 ...
 107 127 157 167 197 ...
 109 149 1009 ...

Diese Gruppen haben den gleichen Anfangs- und Endkontext (in der Regel hängt es davon ab, welche anderen Primzahlen in der Eingabe enthalten sind), sodass sie beim Überlappen anderer Elemente nicht unterschieden werden können. Wir kümmern uns nur um Überlappungen, also können wir Primzahlen in diesen kontextgleichen Gruppen als nicht unterscheidbar behandeln. Jetzt werden unsere DP-Subsets zu Multisubsets zusammengefasst

4 × 1_1
5 × 1_7
3 × 1_9

(Aus diesem Grund maximiert der Solver auch die Überlappungslänge, anstatt die SCS-Länge zu minimieren. Bei dieser Optimierung wird die Überlappungslänge beibehalten.)

Zusammenfassung: die übergeordneten Optimierungen

Wenn Sie mit der INFODebug-Ausgabe arbeiten, werden Statistiken wie folgt gedruckt

solve: N=43, N_search=26, ccontext_size=18, #contexts=7, #eq_context_groups=16

Diese spezielle Zeile ist für die SCS-Länge der ersten 62 Primzahlen, 2bis 293.

• Nach dem Entfernen überflüssiger Elemente verbleiben 43 Primzahlen, die keine Teilzeichenfolgen voneinander sind.
• Es gibt 7 eindeutige Kontexte : 1,3,7,11,13,27plus die leere Zeichenfolge.
• 17 der 43 Primzahlen sind kontextfrei : 43,47,53,59,61,89,211,223,227,229,241,251,257,263,269,281,283. Diese und das angegebene Präfix (in diesem Fall leere Zeichenfolge) bilden die Grundlage für den anfänglichen kombinierten Kontext .
• In den verbleibenden 26 Elementen ( N_search) gibt es 16 nichttriviale Gruppen mit gleichem Kontext .

Durch Ausnutzen dieser Strukturen muss die SCS-Längenberechnung nur 8498336 (multiset, ccontext)Kombinationen prüfen . Eine unkomplizierte dynamische Programmierung würde 43×2^43 > 3×10^14Schritte erfordern, und das rohe Erzwingen der Permutationen würde 6×10^52Schritte erfordern. Das Programm muss SCS-Length noch einige Male ausführen, um die PCN-Lösung zu rekonstruieren, aber das dauert nicht viel länger.

[5., 6.] Die Low-Level-Optimierungen

Anstatt Zeichenfolgenoperationen auszuführen, arbeitet der SCS-Längenlöser mit Indizes von Elementen und Kontexten. Ich berechne auch den Überlappungsbetrag zwischen jedem Kontext und Elementpaar vor.

Der Code verwendete anfänglich GCCs unordered_map, bei denen es sich anscheinend um eine Hash-Tabelle mit verknüpften Listenbereichen und primären Hash-Größen (dh teuren Abteilungen) handelt. Also habe ich meine eigene Hash-Tabelle mit linearer Abtastung und Potenz von zwei Größen geschrieben. Dies führt zu einer dreifachen Beschleunigung und einer dreifachen Reduzierung des Speichers.

Jeder Tabellenzustand besteht aus einer Vielzahl von Elementen, einem kombinierten Kontext und einer Überlappungsanzahl. Diese sind in 128-Bit-Einträge gepackt: 8 für die Überlappungszahl, 56 für die Mehrfachmenge (als Bitmenge mit Lauflängencodierung) und 64 für den c-Kontext (1-begrenzte RLE). Das Codieren und Decodieren des c-Kontexts war der schwierigste Teil, und ich habe die neue PDEPAnweisung verwendet (sie ist so neu, dass GCC noch keine eigene hat).

Schließlich ist der Zugriff auf eine Hash-Tabelle bei Ngroßen Datenmengen sehr langsam , da die Tabelle nicht mehr in den Cache passt. Der einzige Grund, warum wir in die Hash-Tabelle schreiben, ist die Aktualisierung der bekanntesten Überlappungsanzahl für jeden Zustand. Das Programm teilt diesen Schritt in eine Vorabrufwarteschlange auf, und die innere Schleife ruft jede Tabellensuche einige Iterationen vorab ab, bevor dieser Slot tatsächlich aktualisiert wird. Nochmal 2 × Speedup auf meinem Computer.

Bonus: weitere Verbesserungen

AKA Wie ist Concorde so schnell?

Ich weiß nicht viel über TSP-Algorithmen, daher hier eine grobe Vermutung.

Concorde verwendet die Branch-and-Cut- Methode, um TSPs zu lösen.

• Es codiert den TSP als ein ganzzahliges lineares Programm
• Es verwendet lineare Programmiermethoden sowie anfängliche Heuristiken, um untere und obere Schranken für die optimale Tourdistanz zu erhalten
• Diese Grenzen werden dann in einen rekursiven Algorithmus für Verzweigungen und Grenzen eingespeist , der nach der optimalen Lösung sucht. Große Teile des Suchbaums können beschnitten werden, wenn die berechnete Untergrenze für einen Teilbaum eine bekannte Obergrenze überschreitet
• Es wird auch nach Schnittebenen gesucht , um die LP-Relaxation zu verstärken und bessere Grenzen zu erzielen. Typischerweise kodieren diese Schnitte das Wissen darüber, dass die Entscheidungsvariablen ganze Zahlen sein müssen

Offensichtliche Ideen, die wir versuchen könnten:

• Beschneiden im SCS-Längenlöser, insbesondere bei der Rekonstruktion der PCN-Lösung (zu diesem Zeitpunkt wissen wir bereits, wie lang die Lösung ist)
• Ableiten einiger einfach zu berechnender Untergrenzen für SCS, die zum Beschneiden verwendet werden können
• Finden Sie mehr Symmetrien oder Redundanzen in der Primzahlverteilung, die Sie ausnutzen können

Die Branch-and-Cut-Kombination ist jedoch sehr leistungsfähig, sodass wir einen hochmodernen Solver wie Concorde möglicherweise nicht für große Werte von schlagen können N.

Bonusbonus: Die Prim-Containment-Prims

Im Gegensatz zur Concorde-basierten Lösung kann dieses Programm geändert werden, um die kleinsten Primzahlen zu ermitteln ( OEIS A054260 ). Dies beinhaltet drei Änderungen:

1. $1/\ln(n)$

2. Ändern Sie den SCS-Length-Solver-Code, um Lösungen danach zu kategorisieren, ob ihre Ziffernsummen durch 3 teilbar sind. Dazu wird jedem DP-Status ein weiterer Eintrag, die Ziffernsumme mod 3, hinzugefügt. Dies verringert die Wahrscheinlichkeit, dass der Hauptlöser bei Nicht-Prim-Permutationen hängen bleibt, erheblich. Dies ist die Änderung, die ich nicht herausfinden konnte, wie ich in TSP übersetzen soll. Es kann mit ILP codiert werden, aber dann müsste ich etwas über dieses Ding namens "Subtour-Ungleichheit" lernen und wie man diese erzeugt.

3. Es kann sein, dass alle kürzesten PCNs durch 3 teilbar sind. In diesem Fall muss die kleinste Prim-Containment-Primzahl mindestens eine Stelle länger als die PCN sein. Wenn unser SCS-Längenlöser dies erkennt, kann der Lösungsrekonstruktionscode an jeder Stelle des Prozesses eine zusätzliche Ziffer hinzufügen . Es wird versucht, jede mögliche Ziffer 0..9und jedes verbleibende Element in lexikografischer Reihenfolge zum aktuellen Lösungspräfix hinzuzufügen .

Mit diesen Änderungen kann ich die Lösungen bis zu erhalten N=62. Ausgenommen 47, der Rekonstruktionscode bleibt hängen und gibt nach 1 Million Schritten auf (ich weiß noch nicht warum). Die Prim-Containment-Primzahlen sind:

1 2
2 23
3 523
4 2357
5 112573
6 511327
7 1135217
8 1113251719
9 11171323519
10 113171952923
11 113171952923
12 11131951723729
13 11317237419529
14 1131723294375419
15 113172329541947437
16 1131723294195343747
17 1113172329419434753759
18 11231329417437475361959
19 231132941743475375967619
20 2311294134347175967619537
21 23112941343471735967619537
22 231129413434717359537679619
23 23112941343471735375961983679
24 11231294134347173535961967983789
25 23112941343471735359679837619789
26 2310112941343471735359619783789679
27 231010329411343471735359619678379897
28 101031071132329417343475359619798376789
29 101031071091132329417343475359619767898379
30 101031071091132329417343475359619767898379
31 1010310710911131272329417343475359619678979837
32 1010310710911131272329417343475359619678979837
33 10103107109113127137232941734347535978961967983
34 10103107109113127137139232941734347535961967838979
35 10103107109113127137139149232941734347535961976798389
36 1010310710911312713713914923294151734347535976198389679
37 1010310710911312713713914915157232941734347535967619798389
38 10103107109111312713713914915157163232941734347535967897961983
39 10103107109113127137139149151571631672329417343475961979838953
40 10103107109113127137139149151571631672329417343475961979838953
41 10103107109111312713713914915157163167173232941794347535976198983
42 1010310710911131271371391491515716316717323294179434761819535989783
43 1010310710911131271371391491515716316723294173434753596181917989783
44 101031071091131271371391491515716316717323294179434753836181919389597
45 10103107109113127137139149151571631671731792329418191934347538961975983
46 101031071091113127137139149151571631671731791819193232941974347535989836199
47 (failed)
48 1010310710912713137149151571631671731791819193211392232941974347895359836199
49 10103107109112713137149151571631671731791819193211392232272941974347619983535989
50 10103107109127131371491515716316717317918191932113922322722941974347595389836199
51 101031071091271313714915157163167173179181919321139223322722941974347595389619983
52 101031071091271313714915157163167173179181919321139223322722923941974347538361995989
53 10103107109112713137149151571631671731791819193211392233227229239241974347619983538959
54 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251974347619953835989
55 1010310710911271313714915157163167173179211392233227229239241819193251974325747596199538983
56 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251972572634347619959895383
57 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251972572632694359538983619947
58 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251972572632694359538983619947
59 1010310710912713137149151571631671731792113922332277229239241819193251972572632694347535983896199
60 1010310710911271313714915157163167173211392233227722923924179251819193257263269281974347535961998389
61 1010310710912713137149151571631671732113922332277229239241792518191932572632692819728343538947619959
62 10103107109127131371491515716316717321139223322772293239241792518191932572632692819728343534759896199

Code

Kompilieren mit

g++ -std=c++14 -O3 -march=native pcn.cpp -o pcn

Verlinken Sie für die Primzahl-Version auch mit GMPlib, z

g++ -std=c++14 -O3 -march=native pcn-prime.cpp -o pcn-prime -lgmp -lgmpxx

Dieses Programm verwendet den PDEP-Befehl, der nur auf aktuellen (Haswell +) x86-Prozessoren verfügbar ist. Sowohl mein Computer als auch Maxbs unterstützen es. Wenn dies nicht der Fall ist, wird das Programm in einer langsamen Softwareversion kompiliert. In diesem Fall wird eine Kompilierungswarnung gedruckt.

#include <cassert>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <unordered_map>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <array>

using namespace std;

void debug_dummy(...) {
}

#ifndef INFO
//#  define INFO(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#  define INFO debug_dummy
#endif

#ifndef DEBUG
//#    define DEBUG(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#  define DEBUG debug_dummy
#endif

bool is_prime(size_t n)
{
    for (size_t d = 2; d * d <= n; ++d) {
        if (n % d == 0) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

// bitset, works for up to 64 strings
using bitset_t = uint64_t;
const size_t bitset_bits = 64;

// Find position of n-th set bit of x
uint64_t bit_select(uint64_t x, size_t n) {
#ifdef __BMI2__
    // Bug: GCC doesn't seem to provide the _pdep_u64 intrinsic,
    // despite what its manual claims. Neither does Clang!
    //size_t r = _pdep_u64(ccontext_t(1) << new_context, ccontext1);
    size_t r;
    // NB: actual operand order is %2, %1 despite the intrinsic taking %1, %2
    asm ("pdep %2, %1, %0"
         : "=r" (r)
         : "r" (uint64_t(1) << n), "r" (x)
         );
    return __builtin_ctzll(r);
#else
#  warning "bit_select: no x86 BMI2 instruction set, falling back to slow code"
    size_t k = 0, m = 0;
    for (; m < 64; ++m) {
        if (x & (uint64_t(1) << m)) {
            if (k == n) {
                break;
            }
            ++k;
        }
    }
    return m;
#endif
}

#ifndef likely
#  define likely(x) __builtin_expect(x, 1)
#endif
#ifndef unlikely
#  define unlikely(x) __builtin_expect(x, 0)
#endif

// Return the shortest string that begins with a and ends with b
string join_strings(string a, string b) {
    for (size_t overlap = min(a.size(), b.size()); overlap > 0; --overlap) {
        if (a.substr(a.size() - overlap) == b.substr(0, overlap)) {
            return a + b.substr(overlap);
        }
    }
    return a + b;
}

vector <string> dedup_items(string context0, vector <string> items)
{
    vector <string> items2;
    for (size_t i = 0; i < items.size(); ++i) {
        bool dup = false;
        if (context0.find(items[i]) != string::npos) {
                dup = true;
        } else {
            for (size_t j = 0; j < items.size(); ++j) {
                if (items[i] == items[j]?
                    i > j
                        : items[j].find(items[i]) != string::npos) {
                    dup = true;
                    break;
                }
            }
        }
        if (!dup) {
            items2.push_back(items[i]);
        }
    }
    return items2;
}

// Table entry used in main solver
const size_t solver_max_item_set = bitset_bits - 8;
struct Solver_entry
{
    uint8_t score : 8;
    bitset_t items : solver_max_item_set;
    bitset_t context;

    Solver_entry()
    {
        score = 0xff;
        items = 0;
        context = 0;
    }
    bool is_empty() const {
        return score == 0xff;
    }
};

// Simple hash table to avoid stdlib overhead
struct Solver_table
{
    vector <Solver_entry> t;
    size_t t_bits;
    size_t size_;
    size_t num_probes_;

    Solver_table()
    {
        // 256 slots initially -- this needs to be not too small
        // so that the load factor formula in update_score works
        t_bits = 8;
        size_ = 0;
        num_probes_ = 0;
        resize(t_bits);
    }
    static size_t entry_hash(bitset_t items, bitset_t context)
    {
        uint64_t h = 0x3141592627182818ULL;
        // Add context first, since its bits are generally
        // less well distributed than items
        h += context;
        h ^= h >> 23;
        h *= 0x2127599bf4325c37ULL;
        h ^= h >> 47;
        h += items;
        h ^= h >> 23;
        h *= 0x2127599bf4325c37ULL;
        h ^= h >> 47;
        return h;
    }
    size_t probe_index(size_t hash) const {
        return hash & ((size_t(1) << t_bits) - 1);
    }
    void resize(size_t t2_bits)
    {
        assert (size_ < size_t(1) << t2_bits);
        vector <Solver_entry> t2(size_t(1) << t2_bits);
        for (auto entry: t) {
            if (!entry.is_empty()) {
                size_t h = entry_hash(entry.items, entry.context);
                size_t mask = (size_t(1) << t2_bits) - 1;
                size_t idx = h & mask;
                while (!t2[idx].is_empty()) {
                    idx = (idx + 1) & mask;
                    ++num_probes_;
                }
                t2[idx] = entry;
            }
        }
        t.swap(t2);
        t_bits = t2_bits;
    }
    uint8_t update_score(bitset_t items, bitset_t context, uint8_t score)
    {
        // Ensure we can insert a new item without resizing
        assert (size_ < t.size());

        size_t index = probe_index(entry_hash(items, context));
        size_t mask = (size_t(1) << t_bits) - 1;
        for (size_t p = 0; p < t.size(); ++p, index = (index + 1) & mask) {
            ++num_probes_;
            if (likely(t[index].items == items && t[index].context == context)) {
                t[index].score = max(t[index].score, score);
                return t[index].score;
            }
            if (t[index].is_empty()) {
                // add entry
                t[index].score = score;
                t[index].items = items;
                t[index].context = context;
                ++size_;
                // load factor 4/5 -- ideally 2-3 average probes per lookup
                if (5*size_ > 4*t.size()) {
                    resize(t_bits + 1);
                }
                return score;
            }
        }
        assert (false && "bug: hash table probe loop");
    }
    size_t size() const {
        return size_;
    }
    void swap(Solver_table table)
    {
        t.swap(table.t);
        ::swap(size_, table.size_);
        ::swap(t_bits, table.t_bits);
        ::swap(num_probes_, table.num_probes_);
    }
};

/*
 * Main solver code.
 */
struct Solver
{
    // Inputs
    vector <string> items;
    string context0;
    size_t context0_index;

    // Mapping between strings and indices
    vector <string> context_to_string;
    unordered_map <string, size_t> string_to_context;

    // Items that have context-free prefixes, i.e. prefixes that
    // never overlap with the end of other items nor context0
    vector <bool> contextfree;

    // Precomputed contexts (suffixes) for each item
    vector <size_t> item_context;
    // Precomputed updates: (context, string) to overlap amount
    vector <vector <size_t>> join_overlap;

    Solver(vector <string> items, string context0)
        :items(items), context0(context0)
    {
        items = dedup_items(context0, items);
        init_context_();
    }

    void init_context_()
    {
        /*
         * Generate all relevant item-item contexts.
         *
         * At this point, we know that no item is a substring of
         * another, nor of context0. This means that the only contexts
         * we need to care about, are those generated from maximal join
         * overlaps between any two items.
         *
         * Proof:
         * Suppose that the shortest containing string needs some other
         * kind of context. Maybe it depends on a context spanning
         * three or more items, say X,Y,Z. But if Z ends after Y and
         * interacts with X, then Y must be a substring of Z.
         * This cannot happen, because we removed all substrings.
         *
         * Alternatively, it depends on a non-maximal join overlap
         * between two strings, say X,Y. But if this overlap does not
         * interact with any other string, then we could maximise it
         * and get a shorter solution. If it does, then call this
         * other string Z. We would get the same contradiction as in
         * the previous case with X,Y,Z.
         */
        size_t N = items.size();
        vector <size_t> max_prefix_overlap(N), max_suffix_overlap(N);
        size_t context0_suffix_overlap = 0;
        for (size_t i = 0; i < N; ++i) {
            for (size_t j = 0; j < N; ++j) {
                if (i == j) continue;
                string joined = join_strings(items[j], items[i]);
                size_t overlap = items[j].size() + items[i].size() - joined.size();
                string context = items[i].substr(0, overlap);
                max_prefix_overlap[i] = max(max_prefix_overlap[i], overlap);
                max_suffix_overlap[j] = max(max_suffix_overlap[j], overlap);

                if (string_to_context.find(context) == string_to_context.end()) {
                    string_to_context[context] = context_to_string.size();
                    context_to_string.push_back(context);
                }
            }

            // Context for initial join with context0
            {
                string joined = join_strings(context0, items[i]);
                size_t overlap = context0.size() + items[i].size() - joined.size();
                string context = items[i].substr(0, overlap);
                max_prefix_overlap[i] = max(max_prefix_overlap[i], overlap);
                context0_suffix_overlap = max(context0_suffix_overlap, overlap);

                if (string_to_context.find(context) == string_to_context.end()) {
                    string_to_context[context] = context_to_string.size();
                    context_to_string.push_back(context);
                }
            }
        }
        // Now compute all canonical trailing contexts
        context0_index = string_to_context[
                           context0.substr(context0.size() - context0_suffix_overlap)];
        item_context.resize(N);
        for (size_t i = 0; i < N; ++i) {
            item_context[i] = string_to_context[
                                items[i].substr(items[i].size() - max_suffix_overlap[i])];
        }

        // Now detect context-free items
        contextfree.resize(N);
        for (size_t i = 0; i < N; ++i) {
            contextfree[i] = (max_prefix_overlap[i] == 0);
            if (contextfree[i]) {
                DEBUG("  contextfree: %s\n", items[i].c_str());
            }
        }

        // Now compute all possible overlap amounts
        join_overlap.resize(context_to_string.size(), vector <size_t> (N));
        for (size_t c_index = 0; c_index < context_to_string.size(); ++c_index) {
            const string& context = context_to_string[c_index];
            for (size_t i = 0; i < N; ++i) {
                string joined = join_strings(context, items[i]);
                size_t overlap = context.size() + items[i].size() - joined.size();
                join_overlap[c_index][i] = overlap;
            }
        }
    }

    // Main solver.
    // Returns length of shortest string containing all items starting
    // from context0 (context0's length not included).
    size_t solve() const
    {
        size_t N = items.size();

        // Length, if joined without overlaps. We try to improve this by
        // finding overlaps in the main iteration
        size_t base_length = 0;
        for (auto s: items) {
            base_length += s.size();
        }

        // Now take non-context-free items. We will only need to search
        // over these items.
        vector <size_t> search_items;
        for (size_t i = 0; i < N; ++i) {
            if (!contextfree[i]) {
                search_items.push_back(i);
            }
        }
        size_t N_search = search_items.size();

        /*
         * Some groups of strings have the same context transitions.
         * For example "17", "107", "127", "167" all have an initial
         * context of "1" and a trailing context of "7", no other
         * overlaps are possible with other primes.
         *
         * We group these strings and treat them as indistinguishable
         * during the main algorithm.
         */
        auto eq_context = [&](size_t i, size_t j) {
            if (item_context[i] != item_context[j]) {
                return false;
            }
            for (size_t ci = 0; ci < context_to_string.size(); ++ci) {
                if (join_overlap[ci][i] != join_overlap[ci][j]) {
                    return false;
                }
            }
            return true;
        };
        vector <size_t> eq_context_group(N_search, size_t(-1));
        for (size_t si = 0; si < N_search; ++si) {
            for (size_t sj = si-1; sj+1 > 0; --sj) {
                size_t i = search_items[si], j = search_items[sj];
                if (!contextfree[j] && eq_context(i, j)) {
                    DEBUG("  eq context: %s =c= %s\n", items[i].c_str(), items[j].c_str());
                    eq_context_group[si] = sj;
                    break;
                }
            }
        }

        // Figure out the combined context size. A combined context has
        // one entry for each context-free item plus one for context0.
        size_t ccontext_size = N - N_search + 1;

        // Assert that various parameters all fit into our data types
        using ccontext_t = bitset_t;
        assert (context_to_string.size() + ccontext_size <= bitset_bits);
        assert (N_search <= solver_max_item_set);
        assert (base_length < 0xff);

        // Initial combined context.
        unordered_map <size_t, size_t> cc0_full;
        ++cc0_full[context0_index];
        for (size_t i = 0; i < N; ++i) {
            if (contextfree[i]) {
                ++cc0_full[item_context[i]];
            }
        }
        // Now pack into unary-encoded bitset. The bitset stores the
        // count for each context as <count> number of 0 bits,
        // followed by a 1 bit.
        ccontext_t cc0 = 0;
        for (size_t ci = 0, b = 0; ci < context_to_string.size(); ++ci, ++b) {
            b += cc0_full[ci];
            cc0 |= ccontext_t(1) << b;
        }

        // Map from (item set, context) to maximum achievable overlap
        Solver_table k_solns;
        // Base case: cc0 with empty set
        k_solns.update_score(0, cc0, 0);

        // Now start dynamic programming. k is current subset size
        size_t eq_context_groups = 0;
        for (size_t g: eq_context_group) eq_context_groups += (g != size_t(-1));
        if (context0.empty()) {
            INFO("solve: N=%zu, N_search=%zu, ccontext_size=%zu, #contexts=%zu, #eq_context_groups=%zu\n",
                 N, N_search, ccontext_size, context_to_string.size(), eq_context_groups);
        } else {
            DEBUG("solve: context=%s, N=%zu, N_search=%zu, ccontext_size=%zu, #contexts=%zu, #eq_context_groups=%zu\n",
                  context0.c_str(), N, N_search, ccontext_size, context_to_string.size(), eq_context_groups);
        }
        for (size_t k = 0; k < N_search; ++k) {
            decltype(k_solns) k1_solns;

            // The main bottleneck of this program is updating k1_solns,
            // which (for larger N) becomes a huge table.
            // We use a prefetch queue to reduce memory latency.
            const size_t prefetch = 8;
            array <Solver_entry, prefetch> entry_queue;
            size_t update_i = 0;

            // Iterate every k-subset
            for (Solver_entry entry: k_solns.t) {
                if (entry.is_empty()) continue;

                bitset_t s = entry.items;
                ccontext_t ccontext = entry.context;
                size_t overlap = entry.score;

                // Try adding a new item
                for (size_t si = 0; si < N_search; ++si) {
                    bitset_t s1 = s | bitset_t(1) << si;
                    if (s == s1) {
                        continue;
                    }
                    // Add items in each eq_context_group sequentially
                    if (eq_context_group[si] != size_t(-1) &&
                        !(s & bitset_t(1) << eq_context_group[si])) {
                        continue;
                    }
                    size_t i = search_items[si]; // actual item index

                    size_t new_context = item_context[i];
                    // Increment ccontext's count for new_context.
                    // We need to find its delimiter 1 bit
                    size_t bit_n = bit_select(ccontext, new_context);
                    ccontext_t ccontext_n =
                        ((ccontext & ((ccontext_t(1) << bit_n) - 1))
                         | ((ccontext >> bit_n << (bit_n + 1))));

                    // Select non-empty sub-contexts to substitute for new_context
                    for (size_t ci = 0, bit1 = 0, count;
                         ci < context_to_string.size();
                         ++ci, bit1 += count + 1)
                    {
                        assert (ccontext_n >> bit1);
                        count = __builtin_ctzll(ccontext_n >> bit1);
                        if (!count
                            // We just added new_context; we can only remove an existing
                            // context entry there i.e. there must be at least two now
                            || (ci == new_context && count < 2)) {
                            continue;
                        }

                        // Decrement ci in ccontext_n
                        bitset_t ccontext1 =
                            ((ccontext_n & ((ccontext_t(1) << bit1) - 1))
                             | ((ccontext_n >> (bit1 + 1)) << bit1));

                        size_t overlap1 = overlap + join_overlap[ci][i];

                        // do previous prefetched update
                        if (update_i >= prefetch) {
                            Solver_entry entry = entry_queue[update_i % prefetch];
                            k1_solns.update_score(entry.items, entry.context, entry.score);
                        }

                        // queue the current update and prefetch
                        Solver_entry entry1;
                        size_t probe_index = k1_solns.probe_index(Solver_table::entry_hash(s1, ccontext1));
                        __builtin_prefetch(&k1_solns.t[probe_index]);
                        entry1.items = s1;
                        entry1.context = ccontext1;
                        entry1.score = overlap1;
                        entry_queue[update_i % prefetch] = entry1;

                        ++update_i;
                    }
                }
            }

            // do remaining queued updates
            for (size_t j = 0; j < min(update_i, prefetch); ++j) {
                Solver_entry entry = entry_queue[j];
                k1_solns.update_score(entry.items, entry.context, entry.score);
            }

            if (context0.empty()) {
                INFO("  hash stats: |solns[%zu]| = %zu, %zu lookups, %zu probes\n",
                     k+1, k1_solns.size(), update_i, k1_solns.num_probes_);
            } else {
                DEBUG("  hash stats: |solns[%zu]| = %zu, %zu lookups, %zu probes\n",
                      k+1, k1_solns.size(), update_i, k1_solns.num_probes_);
            }
            k_solns.swap(k1_solns);
        }

        // Overall solution
        size_t max_overlap = 0;
        for (Solver_entry entry: k_solns.t) {
            if (entry.is_empty()) continue;
            max_overlap = max(max_overlap, size_t(entry.score));
        }
        return base_length - max_overlap;
    }
};

// Wrapper for Solver that also finds the smallest solution string
string smallest_containing_string(vector <string> items)
{
    items = dedup_items("", items);

    size_t soln_length;
    {
        Solver solver(items, "");
        soln_length = solver.solve();
    }
    DEBUG("Found solution length: %zu\n", soln_length);

    string soln;
    vector <string> remaining_items = items;
    while (remaining_items.size() > 1) {
        // Add all possible next items, in lexicographic order
        vector <pair <string, size_t>> next_solns;
        for (size_t i = 0; i < remaining_items.size(); ++i) {
            const string& item = remaining_items[i];
            next_solns.push_back(make_pair(join_strings(soln, item), i));
        }
        assert (next_solns.size() == remaining_items.size());
        sort(next_solns.begin(), next_solns.end());

        // Now try every item in order
        bool found_next = false;
        for (auto ns: next_solns) {
            size_t i;
            string next_soln;
            tie(next_soln, i) = ns;
            DEBUG("Trying: %s + %s -> %s\n",
                  soln.c_str(), remaining_items[i].c_str(), next_soln.c_str());
            vector <string> next_remaining;
            for (size_t j = 0; j < remaining_items.size(); ++j) {
                if (next_soln.find(remaining_items[j]) == string::npos) {
                    next_remaining.push_back(remaining_items[j]);
                }
            }

            Solver solver(next_remaining, next_soln);
            size_t next_size = solver.solve();
            DEBUG("  ... next_size: %zu + %zu =?= %zu\n", next_size, next_soln.size(), soln_length);
            if (next_size + next_soln.size() == soln_length) {
                INFO("  found next item: %s\n", remaining_items[i].c_str());
                soln = next_soln;
                remaining_items = next_remaining;
                // found lexicographically smallest solution, break now
                found_next = true;
                break;
            }
        }
        assert (found_next);
    }
    soln = join_strings(soln, remaining_items[0]);

    return soln;
}

int main()
{
    string prev_soln;
    vector <string> items;
    size_t p = 1;
    for (size_t N = 1;; ++N) {
        for (++p; items.size() < N; ++p) {
            if (is_prime(p)) {
                char buf[99];
                snprintf(buf, sizeof buf, "%zu", p);
                items.push_back(buf);
                break;
            }
        }

        // Try to reuse previous solution (this works for N=11,30,32...)
        string soln;
        if (prev_soln.find(items.back()) != string::npos) {
            soln = prev_soln;
        } else {
            soln = smallest_containing_string(items);
        }
        printf("%s\n", soln.c_str());
        prev_soln = soln;
    }
}

Probieren Sie es online!

Und die Prime-Only-Version von TIO . Sorry, aber ich habe diese Programme nicht golfen und es gibt ein Post-Längenlimit.

JavaScript (Node.js) , Punktzahl 24 in 241 Sekunden

Ergebnisse

• $a(1)$$a(21)$
• $a(22)=231129413434717353759619679$
• $a(23)=23112941343471735359619678379$
• $a(1)$$a(24)$

Algorithmus

Dies ist eine rekursive Suche, bei der alle möglichen Methoden zum Zusammenführen von Zahlen ausprobiert werden und die resultierenden Listen schließlich in lexikografischer Reihenfolge sortiert werden, wenn ein Blattknoten erreicht wird.

$x$$y$$k$$x$$k$$y$$k$$y$$k$$x$

Zu Beginn jeder Iteration wird jeder Eintrag, der sich in einem anderen Eintrag befindet, aus der Liste entfernt.

Eine signifikante Beschleunigung wurde erzielt, indem die besuchten Knoten verfolgt wurden, so dass wir vorzeitig abbrechen können, wenn verschiedene Vorgänge zu derselben Liste führen.

Eine kleine Beschleunigung wurde erzielt, indem die Liste nach Möglichkeit aktualisiert und wiederhergestellt wurde, anstatt eine Kopie zu erstellen, wie von einem anonymen Benutzer, Neil, vorgeschlagen.

Beispiel

$n=7$$[2,3,5,7,11,13,17]$

[]                        // start with an empty list
[ 2 ]                     // append 2
[ 2, 3 ]                  // append 3
[ 2, 3, 5 ]               // append 5
[ 2, 3, 5, 7 ]            // append 7
[ 2, 3, 5, 7, 11 ]        // append 11
[ 2, 3, 5, 7, 11, 13 ]    // append 13
[ 2, 5, 7, 11, 13 ]       // remove 3, which appears in 13
  [ 2, 5, 7, 113, 13 ]    //   try to merge 11 and 13 into 113
  [ 2, 5, 7, 113 ]        //   remove 13, which now appears in 113
  [ 2, 5, 7, 113, 17 ]    //   append 17
  [ 2, 5, 113, 17 ]       //   remove 7, which appears in 17
  --> leaf node: 1131725  //   new best result
[ 2, 5, 7, 11, 13, 17 ]   // append 17
[ 2, 5, 11, 13, 17 ]      // remove 7, which appears in 17
  [ 2, 5, 113, 13, 17 ]   //   try to merge 11 and 13 into 113
  [ 2, 5, 113, 17 ]       //   remove 13, which now appears in 113
                          //   abort because this node was already visited
                          //   (it was a leaf node anyway, so we don't save much here)
  [ 2, 5, 117, 13, 17 ]   //   try to merge 11 and 17 into 117
  [ 2, 5, 117, 13 ]       //   remove 17, which now appears in 117
  --> leaf node: 1171325  //   not better than the previous one
--> leaf node: 11131725   // not better than the previous one

Code

Probieren Sie es online!

let f = n => {
  let visited = {},
      a, d, k, best, search;

  // build the list of primes, as strings
  for(a = [ '2' ], n--, k = 3; n; k++) {
    for(d = k; k % (d -= 2);) {}
    d == 1 && n-- && a.push(k + '');
  }

  best = a.join('');

  // recursive search function
  (search = (a, n = 0, r = []) => {
    let x, y, i, j, k, s;

    // remove all entries in r[] that can be found in another entry
    r = r.filter((p, i) => !r.some((q, j) => i != j && ~q.indexOf(p)));

    // abort early if this node was already visited
    if(visited[r]) {
      return;
    }

    // otherwise, mark it as visited
    visited[r] = 1;

    // walk through all distinct pairs (x, y) in r[]
    for(i = 0; i < r.length; i++) {
      for(j = i + 1; j < r.length; j++) {
        x = r[i];
        y = r[j];

        // try to merge x and y if:
        // 1) the first k digits of x equal the last k digits of y
        for(k = 1; x.slice(0, k) == y.slice(-k); k++) {
          r[i] = y + x.slice(k);
          search(a, n, r);
        }

        // or:
        // 2) the first k digits of y equal the last k digits of x
        for(k = 1; y.slice(0, k) == x.slice(-k); k++) {
          r[i] = x + y.slice(k);
          search(a, n, r);
        }
        r[i] = x;
      }
    }

    if(x = a[n]) {
      // there are other primes to process, so go on with the next one
      search(a, n + 1, [...r, x]);
    }
    else {
      // this is a leaf node: see if we've improved our current score
      s = r.join('');

      if(s.length <= best.length) {
        s = r.sort().join('');

        if(s.length < best.length || s < best) {
          best = s;
        }
      }
    }
  })(a);

  return best;
}

Concorde TSP-Löser , Ergebnis 84 in 299 Sekunden

Nun ... ich bin dumm, dass ich das erst jetzt merke.

Diese ganze Sache ist im Wesentlichen ein Problem für reisende Verkäufer . Fügen Sie für jedes Primzahlenpaar pund qeine Kante hinzu, deren Gewicht der Anzahl der hinzugefügten Ziffern entspricht q(Entfernen überlappender Ziffern). Fügen Sie außerdem zu jeder Primzahl p, deren Gewicht der Länge von entspricht , eine erste Kante hinzu p. Der kürzeste Handelsweg entspricht der Länge der kleinsten Primzahl.

Dann kann ein industrietauglicher TSP-Löser wie Concorde dieses Problem schnell lösen.

Dieser Eintrag sollte wahrscheinlich als nicht konkurrierend angesehen werden.

Ergebnisse

Der Solver erreicht N=350in etwa 20 CPU-Stunden. Die vollständigen Ergebnisse sind zu lang für einen SE-Beitrag, und das OEIS möchte sowieso nicht so viele Begriffe. Hier sind die ersten 200:

1 2
2 23
3 235
4 2357
5 112357
6 113257
7 1131725
8 113171925
9 1131719235
10 113171923295
11 113171923295
12 1131719237295
13 11317237294195
14 1131723294194375
15 113172329419437475
16 1131723294194347537
17 113172329419434753759
18 2311329417434753759619
19 231132941743475375961967
20 2311294134347175375961967
21 23112941343471735375961967
22 231129413434717353759619679
23 23112941343471735359619678379
24 2311294134347173535961967837989
25 23112941343471735359619678378979
26 2310112941343471735359619678378979
27 231010329411343471735359619678378979
28 101031071132329417343475359619678378979
29 101031071091132329417343475359619678378979
30 101031071091132329417343475359619678378979
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53 1010310710912713137149151571631671731791819193211392233227229239241974347535961998389
54 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251974347535961998389
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Code

Hier ist ein Python 3-Skript, mit dem der Concorde-Solver immer wieder aufgerufen werden kann, bis die Lösungen erstellt sind.

Concorde ist für die akademische Nutzung kostenlos. Sie können eine ausführbare Binärdatei von Concorde herunterladen, die mit dem eigenen linearen Programmierpaket QSopt erstellt wurde, oder, wenn Sie eine Lizenz für IBM CPLEX haben, Concorde aus dem Quellcode für die Verwendung von CPLEX erstellen .

#!/usr/bin/env python3
'''
Find prime containment numbers (OEIS A054261) using the Concorde
TSP solver.

The n-th prime containment number is the smallest natural number
which, when written in decimal, contains the first n primes.
'''

import argparse
import itertools
import os
import sys
import subprocess
import tempfile

def join_strings(a, b):
  '''Shortest string that starts with a and ends with b.'''
  for overlap in range(min(len(a), len(b)), 0, - 1):
    if a[-overlap:] == b[:overlap]:
      return a + b[overlap:]
  return a + b

def is_prime(n):
  if n < 2:
    return False
  d = 2
  while d*d <= n:
    if n % d == 0:
      return False
    d += 1
  return True

def prime_list_reduced(n):
  '''First n primes, with primes that are substrings of other
     primes removed.'''
  primes = []
  p = 2
  while len(primes) < n:
    if is_prime(p):
      primes.append(p)
    p += 1

  reduced = []
  for p in primes:
    if all(p == q or str(p) not in str(q) for q in primes):
      reduced.append(p)
  return reduced

# w_med is an offset for actual weights
# (we use zero as a dummy weight when splitting nodes)
w_med = 10**4
# w_big blocks edges from being taken
w_big = 10**8

def gen_tsplib(prefix, strs, start_candidates):
  '''Generate TSP formulation in TSPLIB format.

     Returns a TSPLIB format string that encodes the length of the
     shortest string starting with 'prefix' and containing all 'strs'.

     start_candidates is the set of strings that solution paths are
     allowed to start with.
     '''
  N = len(strs)

  # Concorde only supports symmetric TSPs. Therefore we encode the
  # asymmetric TSP instances by doubling each node.
  node_in = lambda i: 2*i
  node_out = lambda i: node_in(i) + 1
  # 2*(N+1) nodes because we add an artificial node with index N
  # for the start/end of the tour. This node is also doubled.
  num_nodes = 2*(N+1)

  # Ensure special offsets are big enough
  assert w_med > len(prefix) + sum(map(len, strs))
  assert w_big > w_med * num_nodes

  weight = [[w_big] * num_nodes for _ in range(num_nodes)]
  def edge(src, dest, w):
    weight[node_out(src)][node_in(dest)] = w
    weight[node_in(dest)][node_out(src)] = w

  # link every incoming node with the matching outgoing node
  for i in range(N+1):
    weight[node_in(i)][node_out(i)] = 0
    weight[node_out(i)][node_in(i)] = 0

  for i, p in enumerate(strs):
    if p in start_candidates:
      prefix_w = len(join_strings(prefix, p))
      # Initial length
      edge(N, i, w_med + prefix_w)
    else:
      edge(N, i, w_big)
    # Link every str to the end to allow closed tours
    edge(i, N, w_med)

  for i, p in enumerate(strs):
    for j, q in enumerate(strs):
      if i != j:
        w = len(join_strings(p, q)) - len(p)
        edge(i, j, w_med + w)

  out = '''NAME: prime-containment-number
TYPE: TSP
DIMENSION: %d
EDGE_WEIGHT_TYPE: EXPLICIT
EDGE_WEIGHT_FORMAT: FULL_MATRIX
EDGE_WEIGHT_SECTION
''' % num_nodes

  out += '\n'.join(
    ' '.join(str(w) for w in row)
    for row in weight
  ) + '\n'

  out += 'EOF\n'
  return out

def parse_tour_soln(prefix, strs, text):
  '''This constructs the solution from Concorde's 'tour' output format.
     The format simply consists of a permutation of the graph nodes.'''
  N = len(strs)
  node_in = lambda i: 2*i
  node_out = lambda i: node_in(i) + 1
  nums = list(map(int, text.split()))

  # The file starts with the number of nodes
  assert nums[0] == 2*(N+1)
  nums = nums[1:]

  # Then it should list a permutation of all nodes
  assert len(nums) == 2*(N+1)

  # Find and remove the artificial starting point
  start = nums.index(node_out(N))
  nums = nums[start+1:] + nums[:start]
  # Also find and remove the end point
  if nums[-1] == node_in(N):
    nums = nums[:-1]
  elif nums[0] == node_in(N):
    # Tour printed in reverse order
    nums = reversed(nums[1:])
  else:
    assert False, 'bad TSP tour'
  soln = prefix
  for i in nums:
    # each prime appears in two adjacent nodes, pick one arbitrarily
    if i % 2 == 0:
      soln = join_strings(soln, strs[i // 2])
  return soln

def scs_length(prefix, strs, start_candidates, concorde_path, concorde_verbose):
  '''Find length of shortest containing string using one call to Concorde.'''
  # Concorde's small-input solver CCHeldKarp, tends to fail with the
  # cryptic error message 'edge too long'. Brute force instead
  if len(strs) <= 5:
    best = len(prefix) + sum(map(len, strs))
    for perm in itertools.permutations(range(len(strs))):
      if perm and strs[perm[0]] not in start_candidates:
        continue
      soln = prefix
      for i in perm:
        soln = join_strings(soln, strs[i])
      best = min(best, len(soln))
    return best

  with tempfile.TemporaryDirectory() as tempdir:
    concorde_path = os.path.join(os.getcwd(), concorde_path)
    with open(os.path.join(tempdir, 'prime.tsplib'), 'w') as f:
      f.write(gen_tsplib(prefix, strs, start_candidates))

    if concorde_verbose:
      subprocess.check_call([concorde_path, os.path.join(tempdir, 'prime.tsplib')],
                            cwd=tempdir)
    else:
      try:
        subprocess.check_output([concorde_path, os.path.join(tempdir, 'prime.tsplib')],
                                cwd=tempdir, stderr=subprocess.STDOUT)
      except subprocess.CalledProcessError as e:
        print('Concorde exited with error code %d\nOutput log:\n%s' %
              (e.returncode, e.stdout.decode('utf-8', errors='ignore')),
              file=sys.stderr)
        raise

    with open(os.path.join(tempdir, 'prime.sol'), 'r') as f:
      soln = parse_tour_soln(prefix, strs, f.read())
    return len(soln)

# Cache results from previous N's
pcn_solve_cache = {} # (prefix fragment, strs) -> soln

def pcn(n, concorde_path, concorde_verbose):
  '''Find smallest prime containment number for first n primes.'''
  strs = list(map(str, prime_list_reduced(n)))
  target_length = scs_length('', strs, strs, concorde_path, concorde_verbose)

  def solve(prefix, strs, target_length):
    if not strs:
      return prefix

    # Extract part of prefix that is relevant to cache
    prefix_fragment = ''
    for s in strs:
      next_prefix = join_strings(prefix, s)
      overlap = len(prefix) + len(s) - len(next_prefix)
      fragment = prefix[len(prefix) - overlap:]
      if len(fragment) > len(prefix_fragment):
        prefix_fragment = fragment
    fixed_prefix = prefix[:len(prefix) - len(prefix_fragment)]
    assert fixed_prefix + prefix_fragment == prefix

    cache_key = (prefix_fragment, tuple(strs))
    if cache_key in pcn_solve_cache:
      return fixed_prefix + pcn_solve_cache[cache_key]

    # Not in cache, we need to calculate it.
    soln = None

    # Try strings in ascending order until scs_length reports a
    # solution with equal length. That string will be the
    # lexicographically smallest extension of our solution.
    next_prefixes = sorted((join_strings(prefix, s), s)
                           for s in strs)

    # Try first string -- often works
    next_prefix, _ = next_prefixes[0]
    next_prefixes = next_prefixes[1:]
    next_strs = [s for s in strs if s not in next_prefix]
    next_length = scs_length(next_prefix, next_strs, next_strs,
                             concorde_path, concorde_verbose)
    if next_length == target_length:
      soln = solve(next_prefix, next_strs, next_length)
    else:
      # If not, do a weighted binary search on remaining strings
      while len(next_prefixes) > 1:
        split = (len(next_prefixes) + 2) // 3
        group = next_prefixes[:split]
        group_length = scs_length(prefix, strs, [s for _, s in group],
                                  concorde_path, concorde_verbose)
        if group_length == target_length:
          next_prefixes = group
        else:
          next_prefixes = next_prefixes[split:]
      if next_prefixes:
        next_prefix, _ = next_prefixes[0]
        next_strs = [s for s in strs if s not in next_prefix]
        check = True
        # Uncomment if paranoid
        #next_length = scs_length(next_prefix, next_strs, next_strs,
        #                         concorde_path, concorde_verbose)
        #check = (next_length == target_length)
        if check:
          soln = solve(next_prefix, next_strs, target_length)

    assert soln is not None, (
      'solve failed! prefix=%r, strs=%r, target_length=%d' %
      (prefix, strs, target_length))

    pcn_solve_cache[cache_key] = soln[len(fixed_prefix):]
    return soln

  return solve('', strs, target_length)

parser = argparse.ArgumentParser()
parser.add_argument('--concorde', type=str, default='concorde',
                    help='path to Concorde binary')
parser.add_argument('--verbose', action='store_true',
                    help='dump all Concorde output')
parser.add_argument('--start', type=int, metavar='N', default=1,
                    help='start at this N')
parser.add_argument('--end', type=int, metavar='N', default=1000000,
                    help='stop after this N')
parser.add_argument('--one', type=int, metavar='N',
                    help='solve for a single N and exit')

def main():
  opts = parser.parse_args(sys.argv[1:])

  if opts.one is not None:
    opts.start = opts.one
    opts.end = opts.one

  prev_soln = ''
  for n in range(opts.start, opts.end+1):
    primes = map(str, prime_list_reduced(n))
    if all(p in prev_soln for p in primes):
      soln = prev_soln
    else:
      soln = pcn(n, opts.concorde, opts.verbose)

    print('%d %s' % (n, soln))
    sys.stdout.flush()
    prev_soln = soln

if __name__ == '__main__':
  main()