In der Mathematik ist ein zyklisches Viereck eines, dessen Eckpunkte alle auf demselben Kreis liegen. Mit anderen Worten, jeder Scheitelpunkt befindet sich auf dem Umkreis der anderen drei. Weitere Informationen finden Sie im MathWorld-Artikel .

Beispiele

Diese Vierecke sind zyklisch:

Dieses Trapez ist nicht zyklisch.

_{(Bilder aus Wikipedia)}

Zielsetzung

Bestimmen Sie anhand der Koordinaten von vier Eckpunkten im Gegenuhrzeigersinn, die ein konvexes Viereck bilden, ob das Viereck zyklisch ist.

Koordinaten sind ganze Zahlen (beachten Sie jedoch, dass die Koordinaten des Umfangszentrums und der Umfangsradius nicht unbedingt ganze Zahlen sind.) Wie im vorherigen Absatz angedeutet, sind keine drei Punkte kolinear und keine zwei koinzident.

I / O

Sie können Eingaben in jedem vernünftigen Format vornehmen. Insbesondere [[x1,x2,x3,x4],[y1,y2,y3,y4]], [[x1,y1],[x2,y2],[x3,y3],[x4,y4]]und komplexe Zahlen sind alle in Ordnung.

Ausgabe mit unterschiedlichen konsistenten Werten für true und false.

Testfälle

Wahr:

[0,0], [314,0], [314,1], [0,1]
[-5,5], [5,-5], [1337,42], [42,1337]
[104, -233], [109, -232], [112, -231], [123, -224]

Falsch:

[0,0], [314,0], [314,100], [0,99]
[31,41],[59,26],[53,58],[0,314]

Wolfram Language (Mathematica) , 23 Byte

#∈Circumsphere@{##2}&

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Nimmt vier Eingänge: die Listen {x1,y1}, {x2,y2}, {x3,y3}, und {x4,y4}. Prüft, ob der erste Punkt auf dem Umkreis der anderen drei Punkte liegt. Funktioniert auch zum Überprüfen, ob $n+1$ Punkte in $\mathbb R^n$ konzyklisch sind, vorausgesetzt, die letzten $n$ von ihnen sind affin unabhängig (weil Circumspherees traurig ist, wenn Sie eine entartete Eingabe machen).

Alternativ ist hier ein mathematischer Ansatz:

Wolfram Language (Mathematica) , 29 28 25 24 Bytes

Det@{#^2+#2^2,##,1^#}^0&

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Nimmt zwei Listen als Eingabe: {x1,x2,x3,x4}und {y1,y2,y3,y4}. Gibt zurück, Indeterminatewenn sich die vier Punkte auf einem gemeinsamen Kreis befinden 1.

$(x_1, y_1), (x_2,y_2), (x_3, y_3), (x_4, y_4)$

$\begin{bmatrix}x_1^2 + y_1^2 & x_2^2 + y_2^2 & x_3^2 + y_3^2 & x_4^2 + y_4^2 \\ x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\ y_1 & y_2 & y_3 & y_4 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

Die Determinante dieser Matrix ist 0, wenn und nur wenn die vier Zeilen linear abhängig sind und eine lineare Abhängigkeit zwischen den Zeilen dasselbe ist wie die Gleichung eines Kreises, der an allen vier Punkten erfüllt ist.

Der kürzeste Weg , ich zu Check denken könnte , wenn die Determinante 0 ist , ist es auf die 0-te Potenz zu erhöhen: 0^0ist , Indeterminatewährend alle andere gibt 1.

Python 3 , 70 Bytes

lambda b,c,d,e,a=abs:a(a(b-d)*a(c-e)-a(b-c)*a(d-e)-a(c-d)*a(b-e))<1e-8

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Ich verwende den Satz des Ptolemäus .

Wenn in einem Viereck die Summe der Produkte seiner beiden Paare gegenüberliegender Seiten gleich dem Produkt seiner Diagonalen ist, kann das Viereck in einen Kreis eingeschrieben werden.

b, c, d, eKomplexe Zahlen.

Perl 6 , 44 Bytes

{!im ($^b-$^a)*($^d-$^c)/(($d-$a)*($b-$c)):}

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Nimmt Eckpunkte als komplexe Zahlen. Verwendet die Tatsache, dass die Summe der entgegengesetzten Winkel in einem zyklischen Viereck 180 ° beträgt. Die Reihenfolge der Operationen sollte gewährleisten, dass Gleitkommaoperationen ein genaues Ergebnis für (ausreichend kleine) Ganzzahlen liefern.

Port von Mischa Lawrows TI-Basic-Lösung, 33 Byte

{![*](map */*,($_ Z-.rotate)).im}

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JavaScript (ES6)

Testen der Winkel, 114 Bytes

$[x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4]$

a=>(F=i=>(A=Math.atan2)(a[i+3&7]-(y=a[i+1]),a[i+2&7]-a[i])-A(a[i+5&7]-y,a[i+4&7]-a[i]))(0)+F(2)+F(4)+F(6)==Math.PI

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Berechnung einer Determinante, 130 Bytes

$[x1,x2,x3,x4]$$[y1,y2,y3,y4]$

Diese entspricht der zweiten Antwort von Mischa Lawrow mit einer gedrehten Matrix.

x=>y=>!(g=a=>a+a?a.reduce((v,[r],i)=>v+(i&1?-r:r)*g(a.map(r=>r.slice(1)).filter(_=>i--)),0):1)(x.map((X,i)=>[1,Y=y[i],X,X*X+Y*Y]))

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TI-Basic (Serie 83), 21 Byte

e^(ΔList(ln(ΔList(augment(Ans,Ans
not(imag(Ans(1)Ans(3

Übernimmt die Eingabe als Liste von vier komplexen Zahlen in Ans. Gibt zurück, 1ob das Viereck zyklisch ist oder 0nicht.

$z_1, z_2, z_3, z_4$

• ΔList(augment(Ans,Ans$z_2-z_1, z_3-z_2, z_4-z_3, z_1-z_4$
• e^(ΔList(ln(davon werden die Verhältnisse berechnet$\frac{z_3-z_2}{z_2-z_1}, \frac{z_4-z_3}{z_3-z_2}, \frac{z_1-z_4}{z_4-z_3}, \dots$
• $\frac{z_3-z_2}{z_2-z_1} \cdot \frac{z_1-z_4}{z_4-z_3}$ $(z_3,z_1;z_2,z_4) = \frac{z_2-z_3}{z_2-z_1} : \frac{z_4-z_3}{z_4-z_1}$

Ich habe mein Bestes getan, um zu überprüfen, ob ein numerischer Fehler ein Problem ist und dies anscheinend nicht der Fall ist. Wenn jemand gute Testfälle dafür hat, lassen Sie es mich bitte wissen.

JavaScript (ES6) (101 Byte)

p=>(h=(a,b)=>Math.hypot(p[a]-p[b],p[a+1]-p[b+1]))&&((h(2,4)*h(0,6)+h(0,2)*h(4,6)-h(0,4)*h(2,6))<1e-8)

Nimmt die Eingabe als [x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4], gibt einen Booleschen Wert aus.

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Jelly , 11 Bytes

²Sṭ;L€€ṖÆḊ¬

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Verwendet den Determinantenansatz von Mischa Lawrows Mathematica-Lösung . Ausgänge 1 für wahr, 0 für falsch.

Wie es funktioniert

²Sṭ;L€€ṖÆḊ¬  Main link (monad). Input: [[x1,x2,x3,x4], [y1,y2,y3,y4]]
²S           Square each scalar and add row-wise; [x1*x1+y1*y1, ...]
  ṭ          Append to the input
   ;L€€      Add two rows of [1,1,1,1]'s
       Ṗ     Remove an extra row
        ÆḊ¬  Is the determinant zero?

Gelee , 12 Bytes

Iµ÷×ƭ/÷SµḞ=A

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Verwendet den verschachtelten Cross-Ratio-Ansatz der TI-Basic-Lösung von Misha Lavrov . Ausgänge 1 für wahr, 0 für falsch.

Wie es funktioniert

Iµ÷×ƭ/÷SµḞ=A  Main link (monad). Input: list of four complex numbers [z1,z2,z3,z4]
I             Increments; [z2-z1, z3-z2, z4-z3]
 µ            Refocus on above for sum function
  ÷×ƭ/÷S      (z2-z1)÷(z3-z2)×(z4-z3)÷(z4-z1)
        µ     Refocus again
         Ḟ=A  (real part) == (norm) within error margin
              i.e. imag part is negligible?

Ich glaube, beide sind golfen ...

APL (Dyalog Classic) , 25 Byte

{0=-/|⍵}(-⌿2 3⍴2/⌽)×⊃-1↓⊢

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Der Satz von Ptolemäus, Kredit: Die Antwort von Кирилл Малышев