Hintergrund: Die Ramsey-Zahl gibt die minimale Anzahl von Eckpunkten im vollständigen Graphen so dass eine rot / blaue Kantenfärbung von mindestens ein rotes oder ein blaues . Grenzen für größere sind sehr schwer zu ermitteln. $R(r,s)$ $v$ $K_v$ $K_v$ $K_r$ $K_s$ $r, s$

Ihre Aufgabe ist es, die Zahl $R(r,s)$ für auszugeben $1 \le r,s \le 5$ .

Eingang

Zwei ganze Zahlen $r, s$ mit $1 \le r \le 5$ und $1 \le s \le 5$ .

Ausgabe

$R(r,s)$ wie in dieser Tabelle angegeben:

  s   1    2    3    4      5
r +--------------------------
1 |   1    1    1    1      1
2 |   1    2    3    4      5
3 |   1    3    6    9     14
4 |   1    4    9   18     25
5 |   1    5   14   25  43-48

Beachten Sie, dass $r$ und $s$ austauschbar sind: $R(r,s) = R(s,r)$ .

Für Sie eine beliebige ganze Zahl zwischen und einschließlich ausgeben . Zum Zeitpunkt der Veröffentlichung dieser Frage sind dies die bekanntesten Grenzen. $R(5,5)$ $43$ $48$

code-golf integer graph-theory

— qwr
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Ich denke (auch mit dem Bereich für 5,5), dass dies unter Kolmogorov-Komplexität passen kann (oder passt nur eine Nicht-Eingabe, feste Ausgabe?)

— Jonathan Allan

Wann wurden 49 für R (5,5) ausgeschlossen? (Ich bin nicht herausfordernd; ich scheine eine Zeitung nach Exoos und McKays und Radziszowskis verpasst zu haben.)

— Eric Towers

1

@EricTowers arxiv.org/abs/1703.08768

— qwr

@qwr: Danke! Ich genieße es so weit.

— Eric Towers

7

JavaScript (ES6), 51 bis 49 Byte

Übernimmt Eingaben in der Currying-Syntax (r)(s).

r=>s=>--r*--s+[9,1,,13,2,,3,27,6][r<2|s<2||r*s%9]

Probieren Sie es online!

Wie?

In erster Näherung verwenden wir die Formel:

(r - 1) (s - 1)

$(r-1)(s-1)$

 0  0  0  0  0
 0  1  2  3  4
 0  2  4  6  8
 0  3  6  9 12
 0  4  8 12 16

$\min(r,s)<3$ $1$

 1  1  1  1  1
 1  2  3  4  5
 1  3  -  -  -
 1  4  -  -  -
 1  5  -  -  -

Andernfalls fügen wir einen Wert hinzu, der aus einer Nachschlagetabelle ausgewählt wurde, deren Schlüssel definiert ist durch: $k$

k = (r - 1) (s - 1) mod 9

$k=(r-1)(s-1)\bmod9$

 k:                    table[k]:           (r-1)(s-1):         output:
 -  -  -  -  -         -  -  -  -  -       -  -  -  -  -       -  -  -  -  -
 -  -  -  -  -         -  -  -  -  -       -  -  -  -  -       -  -  -  -  -
 -  -  4  6  8   -->   -  -  2  3  6   +   -  -  4  6  8   =   -  -  6  9 14
 -  -  6  0  3         -  -  3  9 13       -  -  6  9 12       -  -  9 18 25
 -  -  8  3  7         -  -  6 13 27       -  -  8 12 16       -  - 14 25 43

— Arnauld
quelle

Schön, die ersten beiden Zeilen sind ein ordentlicher Ausdruck.

— Qwr

5

JavaScript (Node.js) , 56-55 Byte

f=(x,y)=>x<2|y<2||f(x,y-1)+f(x-1,y)-(x*y==12)-7*(x+y>8)

Probieren Sie es online! Mir ist aufgefallen, dass die Tabelle dem Pascalschen Dreieck ähnelt, jedoch mit Korrekturfaktoren. Bearbeiten: 1 Byte dank @sundar gespeichert.

— Neil
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1

Ja, die Identität des Pascal-Dreiecks ergibt sich aus einer einfachen Obergrenze für die Ramsey-Zahlen (siehe Jonathan Allans Beitrag)

— qwr

1

Sie können 1 Byte ersetzt sparen x*y>19mit x+y>8.

— Sundar - Reinstate Monica

@sundar Danke, meine ursprüngliche Lösung war 50 Bytes, bevor mir klar wurde, dass meine Indizierung falsch war, und ich vergaß, es erneut zu versuchen, nachdem ich das behoben hatte.

— Neil

4

Jelly , 17 16 Bytes

’ScḢƊ_:¥9“ ı?0‘y

Probieren Sie es online! Oder sehen Sie sich eine Testsuite an .

Ersetzen der 0mit +, ,, -, ., oder , /um Als , die gleich , , , , oder jeweils (statt dem hier). $R(5,5)$ $43$ $44$ $45$ $46$ $47$ $48$

Wie?

Da , können wir feststellen, dass: $R(r,s)\leq R(r-1,s)+R(r,s-1)$

R (r, s) \leq (\binom{r + s - 2}{r - 1})

$R(r,s)\leq \binom{r+s-2}{r-1}$

Dies ist ’ScḢƊund würde erzeugen:

 1  1  1  1  1
 1  2  3  4  5
 1  3  6 10 15
 1  4 10 20 35
 1  5 15 35 70

Wenn wir für jedes Mal eins abziehen, wenn neun in das Ergebnis einfließen, richten wir drei weitere nach unserem Ziel aus (dies wird erreicht mit _:¥9):

 1  1  1  1  1
 1  2  3  4  5
 1  3  6  9 14
 1  4  9 18 32
 1  5 14 32 63

Die verbleibenden zwei falschen Werte und können dann unter Verwendung von Jellys Atom- und Codepage-Indizes mit übersetzt werden . $32$ $63$ y“ ı?0‘y

’ScḢƊ_:¥9“ ı?0‘y - Link: list of integers [r, s]
’                - decrement              [r-1, s-1]
    Ɗ            - last 3 links as a monad i.e. f([r-1, s-1]):
 S               -   sum                  r-1+s-1 = r+s-2
   Ḣ             -   head                 r-1
  c              -   binomial             r+s-2 choose r-1
        9        - literal nine
       ¥         - last 2 links as a dyad i.e. f(r+s-2 choose r-1, 9):
      :          -   integer division     (r+s-2 choose r-1)//9
     _           -   subtract             (r+s-2 choose r-1)-((r+s-2 choose r-1)//9)
         “ ı?0‘  - code-page index list   [32,25,63,48]
               y - translate              change 32->25 and 63->48

— Jonathan Allan
quelle

Wenn Sie es auf eine beliebige Zahl einstellen können, empfehle ich 43, wie von McKay, Radziszowski und Exoo vermutet;)

— Qwr

2

Python 2 , 62 Bytes

def f(c):M=max(c);u=M<5;print[48,25-u*7,3*M+~u-u,M,1][-min(c)]

Probieren Sie es online!

Python 2 , 63 Bytes

def f(c):M=max(c);print[48,M%2*7+18,3*~-M+2*(M>4),M,1][-min(c)]

Probieren Sie es online!

Das ist lächerlich, ich werde es bald bereuen, dies gepostet zu haben ... Aber äh, ¯ \ _ (ツ) _ / ¯. Dank unseres freundlichen Jonathan Allan 1 Byte weg rasiert :). Wird wohl in Kürze um ca. 20 Bytes überholt sein ...

— Mr. Xcoder
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Die JS-Antwort von Porting Arnauld ist immer noch 62 Bytes .

— Mr. Xcoder

2

Julia 0,6 , 71 61 59 57 Bytes

A->((r,s)=sort(A);r<3?s^~-r:3r+(s^2-4s+3)*((r==s)+r-2)-3)

Probieren Sie es online!

Ungolfed (naja, etwas besser lesbar):

function f_(A)
  (r, s) = sort(A)

  if r < 3
    result = s^(r-1)
  else
    result = 3*r + 
               (s^2 - 4*s + 3) * ((r == s) + r - 2) -
               3
  end

  return result
end

Was tut es?

Übernimmt die Eingabe als Array Amit r und s. Entpackt das Array mit r und s mit der kleineren Nummer als r (r,s)=sort(A).

$s^{r - 1}$ $s^0 = 1$ $s^1 = s$
r<3?s^(r-1)r<3?s^~-r

Für die anderen begann ich zu bemerken, dass die Ausgabe ist:

$2\times3 + [0, 3, 8]$
$2\times4 + \ \ [10, 17]$
$2\times5 + \ \ \ \ \ [35]$

(Ich habe anfänglich mit f (5,5) = 45 gearbeitet.)

Dies sah nach einem potenziell verwendbaren Muster aus - sie haben alle eines 2rgemeinsam: 17 ist 8 * 2 + 1, 35 ist 17 * 2 + 1, 10 ist 3 * 3 + 1. Ich begann mit dem Extrahieren des Basiswerts aus [0, 3, 8] als [0 3 8][s-2](dies wurde später kürzer (s^2-4s+3)).

Der Versuch, die korrekten Werte für r = 3, 4 und 5 zu erhalten, durchlief viele Phasen, einschließlich

2r+[0 3 8][s-2]*(r>3?3-s+r:1)+(r-3)^3+(r>4?1:0)

und

2r+(v=[0 3 8][s-2])+(r-3)*(v+1)+(r==s)v

Letzteres zu erweitern und zu vereinfachen, führte zum gebuchten Code.

— Sundar - Setzen Sie Monica wieder ein
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2

x86, 49 37 Bytes

Nicht sehr optimiert, nur die Eigenschaften der ersten drei Zeilen der Tabelle ausnutzen. Während ich dies schrieb, wurde mir klar, dass der Code im Grunde genommen eine Sprungtabelle ist, so dass eine Sprungtabelle viele Bytes sparen kann. Eingabe in eaxund ebxAusgabe in eax.

-12 von Fällen der Kombination r >= 3in eine Lookup - Tabelle (ursprünglich nur r >= 4) und mit Peter Cordes Vorschlag von cmp/ jae/ jnemit den Flags noch gesetzt , so dass r1,r2,r3zeichnen sich durch nur eine cmp! Indizieren Sie auch intelligent mit einem konstanten Versatz in die Tabelle.

start:
        cmp     %ebx, %eax
        jbe     r1
        xchg    %eax, %ebx              # ensure r <= s

r1:
        cmp     $2, %al             
        jae     r2                      # if r == 1: ret r
        ret

r2:     
        jne     r3                      # if r == 2: ret s 
        mov     %ebx, %eax
        ret

r3:
        mov     table-6(%ebx,%eax),%al  # use r+s-6 as index
        sub     %al, %bl                # temp = s - table_val
        cmp     $-10, %bl               # equal if s == 4, table_val == 14
        jne     exit
        add     $4, %al                 # ret 18 instead of 14 

exit:
        ret                        

table:
        .byte   6, 9, 14, 25, 43

Hexdump

00000507  39 d8 76 01 93 3c 02 73  01 c3 75 03 89 d8 c3 8a  |9.v..<.s..u.....|
00000517  84 03 21 05 00 00 28 c3  80 fb f6 75 02 04 04 c3  |..!...(....u....|
00000527  06 09 0e 19 2b                                    |....+|

— qwr
quelle

2

Seien Sie nicht so sicher, dass eine Sprungtabelle optimal wäre. r1: cmp $2, %al/ jae r2setzt Flags so, dass Sie sie r2: jne r3ohne andere verwenden können cmp. Das Sprungziel in r1kann ein retanderes sein und durchfallen r2. (Den Zustand umkehren). Übrigens, dies ist die erste Code-Golf-Frage, die ich mir angesehen habe, nachdem ich Ihre Frage zur Verwendung der Short-Jump-Offset-Tabelle auf SO beantwortet habe. Ich nehme an, ich habe den richtigen von HNQ ausgewählt :)

— Peter Cordes

1

r4kann eine Anweisung sein: mov table-8(%ebx,%eax), %al. IDK, warum Sie eine separate Anweisung verwendet haben, um die Tabellenadresse in ein Register zu verschieben. Eines der wichtigsten Dinge ist jedoch, dass konstante Offsets von Symbolen keine zusätzlichen Kosten verursachen, da sie bereits zu einer absoluten 32-Bit-Adresse zusammengesetzt sind. Objektdateiformate können Symbolreferenzen mit einem Versatz darstellen, wenn der Linker die endgültige Adresse angibt, damit Compiler nicht jedes Feld einer Struktur oder jedes Array-Element mit einer separaten Beschriftung versehen müssen ...

— Peter Cordes

@PeterCordes Ich habe nicht einmal gemerkt, dass das HNQ gemacht hat. Und ja, aus irgendeinem Grund dachte ich, die Tabellenadresse müsse sich in einem Register befinden, bevor mir klar wurde, dass die Syntax falsch war. Ich habe es hier behoben. Codegolf.stackexchange.com/a/168503/17360 Dies ist nur eine Nachschlagetabelle. Aber ich wusste nichts über den konstanten Versatz, der praktisch ist. Ich denke, ich werde eine Tabelle für die letzten 3 Zeilen anstelle der Multiplikation versuchen.

— Qwr

1

Hinweis für sich selbst: Es ist immer noch möglich, 1 Byte mit einem retfür r1 und r2 zu speichern .

— Qwr

1

Nettes Update, sieht gut aus. Was ist, wenn Sie den mov %ebx, %eaxnach bewegen exit, so dass er immer nach r3 läuft und r2 dorthin springt oder in r3 durchfällt? Dann r3 erzeugt sein Ergebnis in BL mit sub %bl, %al/ cmp $10, %al/ jne exit/ add $4, %bl(neutral Größenänderung: cmp vs. add verwenden können die al, imm8 Kurzform). Der Gewinn ist, dass es das retvon r2 auch entfernt. Hmm nein das geht nicht, naja vielleicht wenn du die tabelleneinträge negierst oder so? Und das verstopft wahrscheinlich etwas, das Sie brauchen. Ich habe das nicht durchdacht und habe leider keine Zeit dazu: /

— Peter Cordes

1

Python 2 , 70 Bytes

f=lambda R,S:R<=S and[1,S,[6,9,14][S-3],[18,25][S&1],45][R-1]or f(S,R)

Probieren Sie es online!

— Chas Brown
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1

MATL, 25 21 Bytes

+2-lGqXnt8/k-t20/k6*-

Probieren Sie es auf MATL Online aus

Versuch, Jonathan Allans Jelly-Antwort auf MATL zu portieren.

+2-lGqXn - das gleiche wie diese Antwort: berechnen $\binom{r+s-2}{r-1}$

t8/k - duplizieren Sie das, teilen Sie durch 8 und Boden

- - subtrahiere das vom vorherigen Ergebnis (Wir subtrahieren, wie oft 8 in der Zahl vorkommt, anstatt 9 in der Gelee-Antwort. Das Ergebnis ist für alle gleich, mit Ausnahme der 35 und 70, die hier 31 und 62 ergeben.)

t20/k - Dupliziere auch dieses Ergebnis, dividiere es durch 20 und fülle (ergibt 0 für bereits korrekte Ergebnisse, 1 für 31, 3 für 62)

6* - multiplizieren Sie das mit 6

- - subtrahiere das vom Ergebnis (31 - 6 = 25, 62 - 18 = 44)

Älter:

+t2-lGqXntb9<Q3w^/k-t20>+

Probieren Sie es auf MATL Online aus

— Sundar - Setzen Sie Monica wieder ein
quelle

0

Python 3 , 74 Bytes

lambda *a:[[1]*5,[2,3,4,5],[6,9,14],[18,25],[43]][min(a)-1][max(a)-min(a)]

Probieren Sie es online!

— Neil
quelle

0

Proton , 52 Bytes

Near-Port meiner Python-Antwort .

c=>[48,(M=max(c))%2*7+18,3*M-(M>4?1:3),M,1][-min(c)]

Probieren Sie es online!

— Mr. Xcoder
quelle

0

Java 8, 62 Bytes

(r,s)->--r*--s+new int[]{9,1,0,13,2,0,3,27,6}[r<2|s<2?1:r*s%9]

Lambda-Funktion, Portierung der JavaScript- Antwort von Arnauld . Probieren Sie es hier online aus .

Java, 83 Bytes

int f(int x,int y){return x<2|y<2?1:f(x,y-1)+f(x-1,y)-(x*y==12?1:0)-7*(x+y>8?1:0);}

Rekursive Funktion, Port von Neils JavaScript- Antwort . Probieren Sie es hier online aus .

— OOBalance
quelle

0

C (gcc), 57 Bytes

f(x,y){x=x<2|y<2?:f(x,y-1)+f(x-1,y)-(x*y==12)-7*(x+y>8);}

Rekursive Funktion, Port von Neils JavaScript- Antwort . Probieren Sie es hier online aus .

C (gcc) 63 Bytes

f(r,s){r=--r*--s+(int[]){9,1,0,13,2,0,3,27,6}[r<2|s<2?:r*s%9];}

Die JavaScript- Antwort von Port of Arnauld . Probieren Sie es hier online aus .

— OOBalance
quelle

49 Bytes

— Ceilingcat

Kleine Ramsey-Zahlen

Eingang

Ausgabe

JavaScript (ES6), 51 bis 49 Byte

Wie?

JavaScript (Node.js) , 56-55 Byte

Jelly , 17 16 Bytes

Wie?

Python 2 , 62 Bytes

Python 2 , 63 Bytes

Julia 0,6 , 71 61 59 57 Bytes

Ungolfed (naja, etwas besser lesbar):

Was tut es?

x86, 49 37 Bytes

Python 2 , 70 Bytes

MATL, 25 21 Bytes

Python 3 , 74 Bytes

Proton , 52 Bytes

Java 8, 62 Bytes

Java, 83 Bytes

C (gcc), 57 Bytes

C (gcc) 63 Bytes