nEntwerfen Sie bei einer positiven Ganzzahl einen Winkelmesser mit der geringsten Anzahl von Markierungen, mit dem Sie alle Winkel messen können, die ein ganzzahliges Vielfaches von 2π/n(jeweils in einer Messung) sind.

Einzelheiten

Als Ausgabe können Sie eine Liste von Ganzzahlen im Bereich 0bis n-1(oder 1bis n) ausgeben , die die Position jeder Marke darstellen. Alternativ können Sie eine Zeichenfolge / Liste nmit einer Länge #an der Position jeder Marke und einem _(Unterstrich) ausgeben, wenn keine vorhanden ist. (Oder zwei verschiedene Zeichen , wenn bequemer.)
Beispiel: Für n = 5Sie müssen genau drei Marken der Lage sein , alle Winkel zu messen , 2π/5, 4π/5, 6π/5, 8π/5, 2πindem (zum Beispiel) eine Markierung an 0, eine Markierung an 2π/5und eine Markierung an 6π/5. Wir können dies als Liste [0,1,3]oder als Zeichenfolge codieren ##_#_.

Beispiele

Beachten Sie, dass die Ausgaben nicht unbedingt eindeutig sind.

n:  output:
 1  [0]
 2  [0,1]
 3  [0,1]
 4  [0,1,2]
 5  [0,1,2]
 6  [0,1,3]
 7  [0,1,3]
 8  [0,1,2,4]
 9  [0,1,3,4]
10  [0,1,3,6]
11  [0,1,3,8]
20  [0,1,2,3,6,10]

PS: Dies ähnelt dem Problem mit dem spärlichen Lineal , aber anstelle einer linearen Skala (mit zwei Enden) wird eine kreisförmige (eckige) Skala betrachtet.

PPS: Dieses Skript sollte jeweils ein Beispiel für eine Reihe von Markierungen berechnen n. Probieren Sie es online!

PPPS: Wie @ngn hervorhob, entspricht dieses Problem dem Auffinden einer minimalen Differenzbasis einer zyklischen Ordnungsgruppe n. Die Mindestbestellmengen sind unter http://oeis.org/A283297 aufgeführt, und einige theoretische Grenzen finden Sie unter https://arxiv.org/pdf/1702.02631.pdf

Gelee , 13 Bytes

ŒPðṗ2I%QLðÐṀḢ

Probieren Sie es online!

Wie es funktioniert

ŒPðṗ2I%QLðÐṀḢ  Main link. Argument: n (integer)

ŒP             Powerset; generate all subsequences of [1, ..., n].
  ð       ÐṀ   Begin a dyadic chain. Call it with all subsequences S as left
               argument and n as right one. Return the array of all sequences for
               which the chain returns the maximal result, i.e., [0, ..., n-1].
   ṗ2              Cartesian power 2; generate all pairs of elements of S.
     I             Increments; map each pair [x, y] to [y-x].
      %            Map each [y-x] to [(y-x)%n].
       Q           Unique; deduplicate the array of modular difference singletons.
        L          Take the length.
         ð     Begin a new, dyadic chain.
               Left argument: S' (filted subsequences). Right argument: n
            Ḣ  Take the first element of S'.
               Since S was sorted by length, so is S', so the first element of S'
               is the shortest subsequence that satisfies the condition.

MATL , 20 Bytes

:qGZ^!"G:q@&-G\m?@u.

Dies führt zu einem Speichermangel bei TIO für darüber hinausgehende Eingaben 8.

Probieren Sie es online!

Wie es funktioniert

Dies erzeugt die kartesische Potenz von [0 1 ... n-1]mit Exponent nund verwendet eine Schleife, um jedes kartesische Tupel zu testen. Der Test besteht in der Berechnung alle paarweise Unterschiede des Elements , wenn das Tupel, und zu sehen , ob diese Unterschiede Modulo numfassen alle Zahlen 0, 1, ..., n-1.

Sobald ein kartesisches Tupel gefunden wird, das die Bedingung erfüllt, wird die Schleife verlassen und die eindeutigen Einträge in diesem Tupel werden als Lösung gedruckt.

Dies funktioniert , weil gegeben u > v , einen ausreichenden Satz von Tupeln mit u eindeutigen Einträgen sind garantiert wird getestet früher als jedes Tupel mit v eindeutigen Einträgen. Eine "ausreichende Menge" bedeutet, dass, wenn keines der Tupel in dieser Menge eine Lösung ist, kein anderes Tupel mit der gleichen Anzahl eindeutiger Einträge eine Lösung ist.

Für n = 3die kartesischen Tupel gilt beispielsweise Folgendes:

0 0 0
0 0 1
0 0 2
0 1 0
0 1 1
0 1 2
0 2 0
 ···
2 2 1
2 2 2

• Das erste Tupel 0 0 0ist das einzige relevante Tupel mit einem 1eindeutigen Wert. Auch wenn 1 1 1und 2 2 2wird viel später erscheinen, 0 0 0ist eine Lösung, wenn und nur wenn diese sind. Die vom Tupel gebildete Singletonmenge 0 0 0ist also eine ausreichende Menge für u = 1.
• Das zweite und dritte Tupel, nämlich 0 0 1und 0 0 2, bilden eine ausreichende Menge für u = 2; Das heißt, sie decken alle Fälle mit 2eindeutigen Werten ab. Das vierte Tupel 0 1 0wird niemals als Lösung ausgewählt, da 0 0 1es zuerst getestet wurde. Ebenso wird das Tupel 0 2 0nie ausgewählt, da es später als angezeigt wird 0 0 2. Tupel wie 2 2 1werden niemals als Lösung ausgewählt, da sie 0 0 1äquivalent sind (Modulo nund bis zu duplizierten Werten) und zuerst erscheinen.
• Etc.

Kommentierter Code:

:q         % Push [0 1 ... n-1], where n is the input (implicit)
GZ^        % Cartesian power with exponent n. Gives an (n^n) × n matrix
           % where each row is a Cartesian tuple
!          % Transpose. Now each Cartesian tuple is a column
!"         % For each column (that is, each Cartesian tuple)
  G:q      %   Push [0 1 ... n-1] (*)
  @        %   Push current column
  &-       %   Matrix of pairwise differences (**)
  G\       %   Modulo n, element-wise
  m        %   Ismember function: for each entry in (*), gives true iff
           %   it is present in (**)
  ?        %   If all entries are true
    @      %     Push current column
    u      %     Unique entries. This is the solution
    .      %     Break loop
           %   End (implicit)
           % End (implicit)
           % Display (implicit)

Stax , 26 21 Bytes

Åæ4&╕u◙╩►s∙Φ▬═(0~ d+Q

Online ausführen und debuggen!

Momentan schlägt die Online-Version für Eingaben fehl, 20aber dieser Fehler wurde behoben und muss noch für den Online-Interpreter Deployed bereitgestellt werden . Beachten Sie, dass das Ausführen des 20Falls einige Zeit dauert .

Erläuterung

Es stellt sich heraus, dass aufgrund der Art und Weise, wie die paarweise Differenz berechnet wird, ich mich nicht um die Äquivalenz von kund x-khier kümmern muss . 5 Bytes sparen.

Verwendet die entpackte Version, um zu erklären.

rS{%o~{;i@c:2{E-x%mu%x<wm
r                            [0..`x`], where `x` is input
 S                           Powerset
  {%o~                       Sort by length
      {;i@             w     For each element in the powerset
          c:2                All pairs
             {    m          Map each pair `[p,q] to
              E-                 `q-p`
                x%               `(q-p)%x`
                   u%        Count of unique modulo differences
                     x<      Loop until the count of unique modulo differences is larger than the input(`n`)
                             Now we have found a valid set in the powerset
                        m    Output the members of the set,one element per line.

Durch die Durchsetzung der Forderung , dass 0und 1beide Mitglieder der Antwort sein, können wir die Powerset mit erzeugen [2..x]statt [0..x]und fügen Sie dann das 0und 1manuell auf jedes Element in der Powerset. Es ist effizienter, muss aber 1speziell mit der Eingabe umgehen und kostet mehr Bytes.

Gelee , 17 Bytes

_þ¹F%³³Ḷ¤ḟ
ŒPÇÐḟḢ

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-1 Byte danke an Herrn Xcoder

Python 2 , 148 Bytes

from itertools import*
def f(n):
 r=range(n)
 for i in r:
  for p in combinations(r,i+1):
   if all(any((y+x)%n in p for y in p)for x in r):return p

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