Einführung

Schreiben Sie einen Löser für die ganzzahlige lineare Programmierung .

Herausforderung

Ihre Aufgabe ist es, einen Löser für die ganzzahlige lineare Programmierung (ILP) zu schreiben. In ILP werden lineare Ungleichungen einer Menge von Unbekannten (von denen alle ganze Zahlen sind) angegeben, und das Ziel besteht darin, das Minimum oder Maximum einer linearen Funktion zu finden.

Zum Beispiel für die Ungleichungen (Beispiel aus Mixed Integer Linear Programming )

 4x+2y-15≤0
  x+2y- 8≤0
  x+ y- 5≤0
- x      ≤0
   - y   ≤0

und die Zielfunktion 3x+2ysollte das Maximum der Zielfunktion 12( x=2,y=3) sein, während das Minimum 0( x=y=0) sein sollte.

Die Eingabe wird als 2d-Array (oder ein beliebiges Äquivalent gemäß den Standardspezifikationen) angegeben. Jede Zeile entspricht einer Ungleichung, mit Ausnahme der letzten Zeile. Die Zahlen im Array sind die Koeffizienten, und der ≤0Teil wird immer weggelassen. Wenn sich nin jeder Zeile Elemente befinden , bedeutet dies, dass n-1Unbekanntes vorhanden ist.

Die letzte Zeile des Arrays entspricht der linearen Funktion. Die Koeffizienten werden aufgelistet.

Beispielsweise ist das Eingabearray für das obige Problem

[[4,2,-15],[1,2,-8],[1,1,-5],[-1,0,0],[0,-1,0],[3,2,0]].

Die Ausgabe sollte das Minimum und das Maximum sein, die in einer angemessenen Form angegeben werden.

Für das folgende Problem (zwei der Einschränkungen werden aus dem obigen Problem entfernt):

[[4,2,-15],[1,2,-8],[1,1,-5],[3,2,0]].

Das Maximum ist noch 12, aber das Minimum existiert nicht und die Zielfunktion kann beliebig große (im Sinne des Absolutwertes) negative Werte haben. In diesem Fall sollte das Programm 12einen falschen Wert ausgeben , der vom Antwortenden festgelegt wird. Ein anderer Fall ist, dass es überhaupt keine Lösung gibt, zum Beispiel

[[4,2,-15],[-1,-2,7],[-1,0,3],[0,1,0],[3,2,0]].

In diesem Fall sollten auch falsche Werte ausgegeben werden. Es wäre schön, den Fall zu unterscheiden, in dem der "optimale Wert" für die Zielfunktion unendlich ist, und den Fall, in dem es überhaupt keine Lösungen gibt, dies jedoch nicht erforderlich ist.

Die Eingabe enthält nur ganzzahlige Koeffizienten sowohl für die Ungleichungen als auch für die Zielfunktion. Alle Unbekannten sind auch ganze Zahlen. Die Koeffizientenmatrix der Ungleichungen hat garantiert den vollen Rang.

Testfälle

Dank an @KirillL. um einen Fehler in der ursprünglichen Testsuite zu finden und mein Verständnis für ILP-Probleme zu vertiefen.

Input
Output

[[4,2,-15],[1,2,-8],[1,1,-5],[-1,0,0],[0,-1,0],[3,2,1]]
[1,13]

[[4,2,-15],[1,2,-8],[1,1,-5],[3,2,0]]
[-inf, 12]

[[4,2,-15],[-1,-2,7],[-1,0,3],[0,1,0],[3,2,0]]
[NaN, NaN]

[[-1,-1,-1,-1,-1,8],[1,1,1,1,0,0],[5,5,5,5,6,7]]
[55, inf]

[[-1,-1,-1,-1,-1,8],[1,1,1,1,0,0],[0,0,0,0,0,4]]
[4, 4]

[[4,2,-15],[-1,-2,7],[-1,0,3],[0,1,0],[0,0,4]]
[NaN, NaN]

Technische Daten

• Sie müssen sich keine Sorgen um die Ausnahmebehandlung machen.

• Dies ist Code-Golf , die niedrigste Anzahl von Bytes gewinnt.

• Maximale Anzahl der Unbekannten: 9. Die maximale Anzahl von Ungleichheiten: 12.

• Sie können Eingaben und Ausgaben über jedes Standardformular vornehmen und das Format frei wählen.

• Wie üblich gelten hier Standardlücken .

Python 3 , 534 Bytes

import itertools as t
import operator as o
I=float("inf")
e=lambda p,A:sum([i[0]*i[1]for i in zip(p,A[:-1])])+A[-1]
def w(x,j):
	d=len(x[0])-1;C=[0]*d;v,w=I,I
	while 1:
		L={(*n,):(sum([0 if e(n,A)<=0 else e(n,A)for A in x[:-1]]),j*e(n,x[-1]))for n in [[sum(a) for a in zip(C,c)]for c in t.product(*[[-1,0,1]]*d)]};C,P=min(L.items(),key=o.itemgetter(1))[0],C;v,w,p,q=L[C][0],L[C][1],v,w
		if(all([e(C,A)<=e(P,A)for A in x[:-1]]))*(j*(e(C,x[-1])-e(P,x[-1]))<0)+(p==v>0):return I
		if(p==v)*(q<=w):return j*q
f=lambda x:(w(x,1),w(x,-1))

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Überblick

Es ist ein iterativer Algorithmus, der vom Origo ausgeht. Es sammelt die Nachbarpositionen und weist eine mögliche Funktion zu: x:(a,b)Wo xist die Position, aist die Summe der Abstände der Position von den Halbräumen jeder linearen Ungleichung, bist der Wert des Ziels an dieser Position.

x:(a,b) < y:(c,d)iff a<codera=c and b<d

Die Iteration stoppt, wenn:

• Die erste Koordinate des Potentials hat sich nicht verringert und ist positiv: Das System ist nicht realisierbar
• Die Entfernung von jedem halben Raum hat sich ebenso verringert wie das Ziel: Das System ist unbegrenzt.
• Keine der vorherigen und das Potenzial hat nicht abgenommen: Es ist der optimale Wert.

Matlab, 226 Bytes

HAFTUNGSAUSSCHLUSS : Keine "originelle" Implementierung, nur zum Spaß.

Einfache Lösung unter Ausnutzung der intlinprogFunktion:

function r=f(a);b=-1*a(1:end-1,end);p=a(end,1:end-1);c=a(1:end-1,1:end-1);[~,f,h]=intlinprog(p,1:size(a,2)-1,c,b);[~,g,i]=intlinprog(-p,1:size(a,2)-1,c,b);s=[inf,nan,f];t=[inf,nan,g];r=a(end,end)+[s(4-abs(h)) -t(4-abs(i))];end

Es gibt die optimalen Werte zurück oder inf (-inf), wenn das Problem unbegrenzt ist, oder nan, wenn es nicht durchführbar ist.

a = [4 2 -15; 1 2 -8; 1 1 -5; -1 0 0; 0 -1 0; 3 2 1]
b = [4 2 -15; 1 2 -8; 1 1 -5; 3 2 0]
c = [4 2 -15; -1 -2 7; -1 0 3; 0 1 0; 3 2 0]
d = [-1 -1 -1 -1 -1 8;  1 1 1 1 0 0; 0 0 0 0 0 4]
e = [4 2 -15; -1 -2 7; -1 0 3; 0 1 0; 0 0 4]

>> f(a)
ans =

     1    13

>> f(b)
ans =

   Inf    12

>> f(c)
ans =

   NaN   NaN

>> f(d)
ans =

     4     4

>> f(e)
ans =

   NaN   NaN