Bei der Multiplikation von Monomen auf Milnor-Basis für die Steenrod-Algebra werden im Rahmen des Algorithmus bestimmte "zulässige Matrizen" aufgelistet.

Gegeben sind zwei Listen nichtnegativer Ganzzahlen r ₁ , ..., r _m und s ₁ , ..., s _n , eine Matrix nichtnegativer Ganzzahlen X

ist zulässig, wenn

1. Die Summe der j-ten Spalte ist kleiner oder gleich s _j :

   

2. Die Summe der mit Zweierpotenzen gewichteten i-ten Zeile ist kleiner oder gleich r _i :

   

Aufgabe

Schreiben Sie ein Programm, das ein Paar Listen r ₁ , ..., r _m und s ₁ , s ₁ , ..., s _{n verwendet} und die Anzahl der zulässigen Matrizen für diese Listen berechnet. Ihr Programm kann gegebenenfalls m und n als zusätzliche Argumente verwenden.

• Diese Zahlen können in einem beliebigen Format eingegeben werden, zum Beispiel in Listen gruppiert oder in Unary oder irgendetwas anderem codiert.

• Die Ausgabe sollte eine positive Ganzzahl sein

• Es gelten Standardlücken.

Wertung

Das ist Codegolf: Kürzeste Lösung in Bytes gewinnt.

Beispiele:

Für [2]und [1]gibt es zwei zulässige Matrizen:

Für [4]und [1,1]gibt es drei zulässige Matrizen:

Für [2,4]und [1,1]gibt es fünf zulässige Matrizen:

Testfälle:

   Input: [1], [2]
   Output: 1

   Input: [2], [1]
   Output: 2

   Input: [4], [1,1]
   Output: 3

   Input: [2,4], [1,1]   
   Output: 5      

   Input: [3,5,7], [1,2]
   Output: 14

   Input: [7, 10], [1, 1, 1]
   Output: 15       

   Input: [3, 6, 16, 33], [0, 1, 1, 1, 1]
   Output: 38      

   Input: [7, 8], [3, 3, 1]
   Output: 44

   Input: [2, 6, 15, 18], [1, 1, 1, 1, 1]
   Output: 90       

   Input: [2, 6, 7, 16], [1, 3, 2]
   Output: 128

   Input: [2, 7, 16], [3, 3, 1, 1]
   Output: 175

JavaScript (ES7), 163 Byte

f=([R,...x],s)=>1/R?[...Array(R**s.length)].reduce((k,_,n)=>(a=s.map((_,i)=>n/R**i%R|0)).some(c=>(p+=c<<++j)>R,p=j=0)?k:k+f(x,s.map((v,i)=>v-a[i])),0):!/-/.test(s)

Testfälle

NB : Ich habe die zwei zeitaufwändigsten Testfälle aus diesem Snippet entfernt, aber sie sollten auch erfolgreich sein.

f=([R,...x],s)=>1/R?[...Array(R**s.length)].reduce((k,_,n)=>(a=s.map((_,i)=>n/R**i%R|0)).some(c=>(p+=c<<++j)>R,p=j=0)?k:k+f(x,s.map((v,i)=>v-a[i])),0):!/-/.test(s)

console.log(f([1],[2]))            // 1
console.log(f([2],[1]))            // 2
console.log(f([4],[1,1]))          // 3
console.log(f([2,4],[1,1]   ))     // 5      
console.log(f([3,5,7],[1,2]))      // 14
console.log(f([7,10],[1,1,1]))     // 15       
console.log(f([7,8],[3,3,1]))      // 44
console.log(f([2,6,7,16],[1,3,2])) // 128
console.log(f([2,7,16],[3,3,1,1])) // 175

Kommentiert

f = (                               // f = recursive function taking:
  [R,                               //   - the input array r[] splitted into:
      ...x],                        //     R = next element / x = remaining elements
  s                                 //   - the input array s[]
) =>                                //
  1 / R ?                           // if R is defined:
    [...Array(R**s.length)]         //   for each n in [0, ..., R**s.length - 1],
    .reduce((k, _, n) =>            //   using k as an accumulator:
      (a =                          //     build the next combination a[] of
        s.map((_, i) =>             //     N elements in [0, ..., R - 1]
          n / R**i % R | 0          //     where N is the length of s[]
        )                           //
      ).some(c =>                   //     for each element c in a[]:
        (p += c << ++j)             //       increment j; add c * (2**j) to p
        > R,                        //       exit with a truthy value if p > R
        p = j = 0                   //       start with p = j = 0
      ) ?                           //     end of some(); if truthy:
        k                           //       just return k unchanged
      :                             //     else:
        k +                         //       add to k the result of
        f(                          //       a recursive call to f() with:
          x,                        //         the remaining elements of r[]
          s.map((v, i) => v - a[i]) //         s[] updated by subtracting the values of a[]
        ),                          //       end of recursive call
      0                             //     initial value of the accumulator k
    )                               //   end of reduce()
  :                                 // else:
    !/-/.test(s)                    //   return true if there's no negative value in s[]

Gelee , 26 Bytes

UḄ€Ḥ>⁴
0rŒpṗ⁴L¤µS>³;ÇẸµÐḟL

Ein vollständiges Programm mit S , R, das die Zählung ausgibt

Probieren Sie es online!

Wie?

UḄ€Ḥ>⁴ - Link 1, row-wise comparisons: list of lists, M
U      - upend (reverse each)
 Ḅ€    - convert €ach from binary (note bit-domain is unrestricted, e.g. [3,4,5] -> 12+8+5)
   Ḥ   - double (vectorises) (equivalent to the required pre-bit-shift by one)
     ⁴ - program's 2nd input, R
    >  - greater than? (vectorises)

0rŒpṗ⁴L¤µS>³;ÇẸµÐḟL - Main link: list S, list R
0r                  - inclusive range from 0 to s for s in S
  Œp                - Cartesian product of those lists
       ¤            - nilad followed by link(s) as a nilad:
     ⁴              -   program's 2nd input, R
      L             -   length
    ṗ               - Cartesian power = all M with len(R) rows & column values in [0,s]
        µ      µÐḟ  - filter discard if:
         S          -   sum (vectorises) = column sums
           ³        -   program's 1st input, S
          >         -   greater than? (vectorises) = column sum > s for s in S
             Ç      -   call the last link (1) as a monad = sum(2^j × row) > r for r in R
            ;       -   concatenate
              Ẹ     -   any truthy?
                  L - length

Wolfram Language (Mathematica) , 101 Bytes

Lassen Sie Mathematica es als ein System von Ungleichungen über die ganzen Zahlen lösen. Ich richte ein symbolisches Array ein fund fädle drei Sätze von Ungleichungen ein. Join@@nur die Liste für abflachen Solve.

Length@Solve[Join@@Thread/@{Tr/@(t=f~Array~{q=(l=Length)@#2,l@#})<=#2,2^Range@q.t<=#,t>=0},Integers]&

Probieren Sie es online!

Mathematica 139 Bytes

Tr@Boole[k=Length[a=#]+1;AllTrue[a-Rest[##+0],#>=0&]&@@@Tuples[BinCounts[#,{2r~Prepend~0}]&/@IntegerPartitions[#,All,r=2^Range@k/2]&/@#2]]&

Probieren Sie es online aus

Erklärung: Partitioniert jedes der r _i in Potenzen von 2 und führt dann alle Tupel mit einer Zerlegung in Zweierpotenzen für jede ganze Zahl durch, subtrahiert die Spaltensummen von der Liste der s _i . Zählen Sie die Anzahl der Tupel, die alle verbleibenden Einträge positiv sind.