In dieser Aufgabe werde ich Sie bitten, eine QR-Zerlegung einer quadratischen Matrix zu finden. Die QR-Zerlegung der Matrix A ist zwei Matrizen Q und R, so dass A = QR ist . Insbesondere suchen wir, dass Q eine orthogonale Matrix ist ( dh Q ^T Q = Q Q ^T = I, wobei I die multiplikative Identität und ^T die Transponierte ist) und R eine obere Dreiecksmatrix ist (jeder Wert unter seiner Diagonale muss sein) Null sein).

Sie werden Code schreiben, der mit jeder vernünftigen Methode eine quadratische Matrix annimmt und mit jeder Methode eine QR-Zerlegung ausgibt. Viele Matrizen haben mehrere QR-Zerlegungen, Sie müssen jedoch immer nur eine ausgeben.

Elemente Ihrer resultierenden Matrizen sollten bei jedem Eintrag in der Matrix innerhalb von zwei Dezimalstellen von einer tatsächlichen Antwort entfernt sein.

Dies ist ein Code-Golf- Wettbewerb, bei dem die Antworten in Bytes gewertet werden, wobei weniger Bytes eine bessere Punktzahl sind.

Testfälle

Dies sind nur mögliche Ausgaben, Ihre Ausgaben müssen nicht mit allen übereinstimmen, solange sie gültig sind.

0 0 0     1 0 0   0 0 0
0 0 0 ->  0 1 0   0 0 0
0 0 0     0 0 1 , 0 0 0

1 0 0     1 0 0   1 0 0
0 1 0 ->  0 1 0   0 1 0
0 0 1     0 0 1 , 0 0 1

1 2 3     1 0 0   1 2 3
0 3 1 ->  0 1 0   0 3 1
0 0 8     0 0 1 , 0 0 8

0 0 1     0 0 1   1 1 1
0 1 0 ->  0 1 0   0 1 0
1 1 1     1 0 0 , 0 0 1

0 0 0 0 1     0 0 0 0 1   1 0 0 0 1
0 0 0 1 0     0 0 0 1 0   0 1 1 1 0
0 0 1 0 0 ->  0 0 1 0 0   0 0 1 0 0
0 1 1 1 0     0 1 0 0 0   0 0 0 1 0
1 0 0 0 1     1 0 0 0 0 , 0 0 0 0 1

Julia, 2 Bytes

qr

Die Funktion qrnimmt eine quadratische Matrix und gibt eine Tupleder Matrizen: Q und R .

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Oktave , 19 Bytes

@(x)[[q,r]=qr(x),r]

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Meine erste Oktavantwort \ o /

Octave qrhat eine ganze Reihe von Alternativen in anderen Sprachen, die sowohl Q als auch R zurückgeben : QRDecomposition(Mathematica), matqr(PARI / GP), 128!:0- wenn ich mich recht entsinne - (J), qr(R) ...

Wolfram Language (Mathematica) , 15 Byte

QRDecomposition

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Ich meine ... was soll ich sagen?

R , 38 37 Bytes

pryr::f(list(qr.R(q<-qr(m)),qr.Q(q)))

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SageMath , 27 Bytes

lambda x:matrix(RDF,x).QR()

Python 2, 329 324 Bytes

import fractions
I=lambda v,w:sum(a*b for a,b in zip(v,w))
def f(A):
 A,U=[map(fractions.Fraction,x)for x in zip(*A)],[]
 for a in A:
    u=a
    for v in U:u=[x-y*I(v,a)/I(v,v)for x,y in zip(u,v)]
    U.append(u)
 Q=[[a/I(u,u)**.5 for a in u]for u in U];return zip(*Q),[[I(e,a)*(i>=j)for i,a in enumerate(A)]for j,e in enumerate(Q)]

Wir müssen Brüche verwenden, um eine korrekte Ausgabe sicherzustellen. Siehe https://en.wikipedia.org/wiki/Gram%E2%80%93Schmidt_process#Numerical_stability

Einrückung verwendet:

1. 1 Leerzeichen
2. 1 tab

Python mit Numpy, 28 Bytes

import numpy
numpy.linalg.qr