Einführung

Sie können diesen Teil überspringen, wenn Sie bereits wissen, was eine zyklische Gruppe ist.

Eine Gruppe wird durch eine Menge und eine assoziative Binäroperation definiert $(d (a $ b) $ c = a $ (b $ c). H. Es gibt genau ein Element in der Gruppe, ein dem a $ e = a = e $ afür alle ain der Gruppe ( Identität ). Für jedes Element ain der Gruppe gibt es genau ein Element b, das a $ b = e = b $ a( invers ) Für jeweils zwei Elemente a, bin der Gruppe a $ bbefindet sich in der Gruppe ( Abschluss ).

Wir können a^nanstelle von schreiben a$a$a$...$a.

Das zyklische Untergruppe von jedem Element erzeugt ain der Gruppe ist , <a> = {e, a, a^2, a^3, a^4, ..., a^(n-1)}wo ndie Ordnung (Größe) der Untergruppe (es sei denn , die Untergruppe ist unendlich).

Eine Gruppe ist zyklisch, wenn sie von einem ihrer Elemente erzeugt werden kann.

Herausforderung

Bestimmen Sie anhand der Cayley-Tabelle (Produkttabelle) für eine endliche Gruppe, ob sie zyklisch ist oder nicht.

Beispiel

Werfen wir einen Blick auf die folgende Cayley-Tabelle:

1 2 3 4 5 6
2 3 1 6 4 5
3 1 2 5 6 4
4 5 6 1 2 3
5 6 4 3 1 2
6 4 5 2 3 1

(Dies ist die Cayley-Tabelle für Diedergruppe 3, D_3).

Dies ist 1-indiziert. Wenn wir also den Wert von ermitteln möchten 5 $ 3, sehen wir in der fünften Spalte in der dritten Zeile nach (beachten Sie, dass der Operator nicht unbedingt kommutativ ist, also 5 $ 3nicht unbedingt gleich 3 $ 5. Wir sehen hier, dass 5 $ 3 = 6(auch das 3 $ 5 = 4).

Wir können finden, <3>indem wir mit beginnen [3]und dann, während die Liste eindeutig ist, das Produkt des letzten Elements und den Generator (3) anhängen. Wir bekommen [3, 3 $ 3 = 2, 2 $ 3 = 1, 1 $ 3 = 3]. Wir hören hier mit der Untergruppe auf {3, 2, 1}.

Wenn Sie durchrechnen, <1>werden <6>Sie feststellen, dass keines der Elemente in der Gruppe die gesamte Gruppe generiert. Somit ist diese Gruppe nicht zyklisch.

Testfälle

Die Eingabe wird als Matrix angegeben, die Ausgabe als wahrheitsgetreuer / falscher Entscheidungswert.

[[1,2,3,4,5,6],[2,3,1,6,4,5],[3,1,2,5,6,4],[4,5,6,1,2,3],[5,6,4,3,1,2],[6,4,5,2,3,1]] -> False (D_3)
[[1]] -> True ({e})
[[1,2,3,4],[2,3,4,1],[3,4,1,2],[4,1,2,3]] -> True ({1, i, -1, -i})
[[3,2,4,1],[2,4,1,3],[4,1,3,2],[1,3,2,4]] -> True ({-1, i, -i, 1})
[[1,2],[2,1]] -> True ({e, a} with a^-1=a)
[[1,2,3,4,5,6,7,8],[2,3,4,1,6,7,8,5],[3,4,1,2,7,8,5,6],[4,1,2,3,8,5,6,7],[5,8,7,6,1,4,3,2],[6,5,8,7,2,1,4,3],[7,6,5,8,3,2,1,4],[8,7,6,5,4,3,2,1]] -> False (D_4)
[[1,2,3,4,5,6],[2,1,4,3,6,5],[3,4,5,6,1,2],[4,3,6,5,2,1],[5,‌​6,1,2,3,4],[6,5,2,1,‌​4,3]] -> True (product of cyclic subgroups of order 2 and 3, thanks to Zgarb)
[[1,2,3,4],[2,1,4,3],[3,4,1,2],[4,3,1,2]] -> False (Abelian but not cyclic; thanks to xnor)

Sie werden garantiert, dass die Eingabe immer eine Gruppe ist.

Sie können Eingaben als 0-indizierte Werte annehmen.

J , 8 Bytes

1:e.#@C.

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Erläuterung

1:e.#@C.  Input: matrix M
      C.  Convert each row from a permutation to a list of cycles
    #@    Number of cycles in each row
1:        Constant function 1
  e.      Is 1 a member of the cycle lengths?

Schale , 11 10 9 Bytes

VS≡`ȯU¡!1

1-basiert. Gibt den Index eines Generators zurück, falls vorhanden, andernfalls 0. Probieren Sie es online!

Erläuterung

V          Does any row r of the input satisfy this:
      ¡!    If you iterate indexing into r
   `    1   starting with 1
    ȯU      until a repetition is encountered,
 S≡         the result has the same length as r.

Jelly , 13 11 Bytes

ị"⁸$ÐĿ«/E€Ẹ

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JavaScript (ES6), 52 Byte

a=>a.some(b=>!a[new Set(a.map(_=>r=b[r],r=0)).size])

Python 2 , 96 91 97 Bytes

lambda x:any(g(r,r[i],i+1)==len(r)for i,r in enumerate(x))
g=lambda x,y,z:y==z or 1+g(x,x[y-1],z)

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Gelee , 15 Bytes

JŒ!ị@€µṂ⁼Jṙ'’$$

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Erste dumme Idee, die mir in den Sinn kam: Überprüfen Sie, ob Z _n isomorph ist . (Dieser Code ist O (n!) ...)

JŒ!ị@€             Generate all ways to denote this group.
                     (by indexing into every permutation of 1…n)
      µṂ⁼          Is the smallest one equal to this?
         Jṙ'’$$      [[1 2 …  n ]
                      [2 3 …  1 ]    (the group table for Z_n)
                      [… … …  … ]
                      [n 1 … n-1]]

R , 101 97 Bytes

function(m)any(sapply(1:(n=nrow(m)),function(x)all(1:n%in%Reduce(`[`,rep(list(m[x,]),n),x,T,T))))

Überprüfen Sie alle Testfälle

Dies berechnet einfach <g>für jedes g \in Gund testet dann G \subseteq <g>, ob und ob eines davon wahr ist. Da wir jedoch immer $gauf der rechten Seite anwenden , replizieren wir m[g,](die gdritte Zeile) und indizieren dann mit dem Ergebnis der Anwendung in diese Zeile. Dabei werden die Ergebnisse $gakkumuliert und nicht m[g,g$g]jedes Mal verwendet, wodurch etwa 4 Byte eingespart werden.

Clojure, 68 Bytes

#(seq(for[l % :when(apply distinct?(take(count l)(iterate l 0)))]l))

Python 2 , 82 Bytes

lambda A:len(A)in[len(set(reduce(lambda a,c:a+[A[a[-1]][n]],A,[n])))for n in A[0]]

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0-indizierte Cayley-Tabelle wird eingegeben; True / False-Ausgabe für zyklische / nicht zyklische Gruppe.