Hintergrund

Es kann , dass für jede ganze Zahl angezeigt k >= 0, f(k) = tan(atan(0) + atan(1) + atan(2) + ... + atan(k))eine rationale Zahl ist.

Tor

Schreiben Sie ein komplettes Programm oder eine Funktion, die bei Angabe als einzelner reduzierter Bruch ausgegeben k >= 0wird f(k)(Zähler und Nenner sind Koprime).

Testfälle

Die ersten Werte sind

f(0) = (0,1)
f(1) = (1,1)
f(2) = (-3,1)
f(3) = (0,1)
f(4) = (4,1)
f(5) = (-9,19)
f(6) = (105,73)

Regeln

• Standardlücken sind verboten.
• Die Ein- und Ausgabe kann in jedem beliebigen Format erfolgen. Sie können f(k)als Zeichenfolge numerator/denominator, als Tupel aus zwei Ganzzahlen, als Bruch oder als rationales Objekt usw. ausgeben. Wenn Sie eine Zeichenfolge ausgeben, geben Sie nur zwei Ganzzahlen an, d. H. Ausgabe 3/2anstelle von 1 1/2.
• Dies ist Code-Golf, die kürzeste Antwort (in Bytes) gewinnt.

M , 11 Bytes

×C÷@+
R0;ç/

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Verwendet die OEIS-Formel x(n) = (x(n-1)+n)/(1-n*x(n-1))mit x(0) = 0.

Mathematica, 28 Bytes

Fold[+##/(1-##)&,0,Range@#]&

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Ein längerer, aber interessanterer Ansatz (32 Bytes):

Im@#/Re@#&@Product[1+n I,{n,#}]&

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Python 2 ,76 72 Bytes

from fractions import*
f=lambda k:Fraction(k and(k+f(k-1))/(1-k*f(k-1)))

Verwenden Sie die Identität:

tan(A + B) = (tan(A) + tan(B)) / (1 - tan(A) * tan(B))

Wir haben:

f(k) = 0                                    if k = 0
     = (k + f(k - 1)) / (1 - k * f(k - 1))  if k > 0

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Dank Luis Mendo sparen Sie 4 Bytes.

APL (Dyalog) , 14 Bytes

Erfordert ⎕FR←1287( 128 Bits F loating Punkt R ePresentation) für kleinen Eingang. Nimmt kals richtiges Argument.

1(∧÷,)3○¯3+.○⍳

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⍳ ganze Zahlen von eins bis k(null wird nicht benötigt, da 0 = arctan 0)

¯3+.○ Summe der Arcustangenten

3○ Tangente

1(… ) Wende die folgende implizite Funktion mit 1 als linkem Argument und der obigen als rechtem Argument an:

 ∧ das niedrigste gemeinsame Vielfache (von 1 und dem richtigen Argument); gibt den Zähler an

 ÷ geteilt durch

 , die Verkettung (von 1 und dem richtigen Argument); gibt den Zähler und den Nenner an

Haskell , 52 Bytes

Dies verwendet die Erweiterung der OEIS-Serie:

import Data.Ratio
f 0=0%1
f n|p<-f$n-1=(p+n)/(1-n*p)

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Oder eine pointfree Version:

(scanl1(\f n->(f+n)/(1-n*f))[0%1..]!!)

JavaScript (ES6), 80 Byte

f=n=>n?([a,b]=f(n-1),g=(a,b)=>a?g(b%a,a):b,c=g(d=b*n+a,e=b-n*a),[d/c,e/c]):[0,1]

Gibt ein Paar [Zähler, Nenner] zurück. Erklärung: f(n-1) = a/bDann lass f(n) = atan(tan(n)+tan(a/b)) = (n+a/b)/(1-n*a/b) = (b*n+a)/(b-n*a). Es bleibt dann, den Bruchteil auf den niedrigsten Stand zu bringen.

Online ES6-Umgebung

Pari / GP , 36 Bytes

n->imag(x=prod(i=0,n,1+i*I))/real(x)

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Oder gleich lang:

n->fold((x,y)->(x+y)/(1-x*y),[0..n])

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05AB1E , 33 26 Bytes

0X)Iƒ©`N*+®`sN*-‚D¿D_i\¤}/

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Erläuterung

0X)                          # initialize stack with [0,1]
   Iƒ                        # for N in range [0 ... input] do:
     ©                       # store a copy of the current pair in the register
      `                      # push the pair separately to the stack
       N*                    # multiply the denominator with N
         +                   # add the numerator
          ®`s                # push the denominator then the numerator to the stack
             N*              # multiply the numerator by N
               -             # subtract it from the denominator
                D¿D          # get 2 copies of the greatest common divisor
                   0Qi  }    # if the gcd equals 0
                      \¤     # replace it with the denominator
                         /   # divide the pair with this number

Oktave , 30 Bytes

format rat
tan(sum(atan(0:k)))

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Casio-Basic, 35 Bytes

tExpand(tan(sum(seq(tan⁻¹(n),n,0,k

tan ^-1 sollte als das auf der Trig-Tastatur eingegeben werden; oder ^-1 kann getrennt von der Tastatur abc> Math eingegeben werden. Gemäß dem Handbuch des fx-CP400 handelt es sich um ein einzelnes Zwei-Byte-Zeichen (764).

Funktion, 34 Byte für den Code, +1 Byte zum Hinzufügen kals Argument.

Erläuterung

seq(tan-1(n),n,0,k)generiert alle Werte tan-1(n)von 0 bis k.

sumFügt sie alle zusammen und tanübernimmt dann die Tangensfunktion für sie.

tExpand wird sie dann in eine einzige Fraktion verwandeln.

Julia 0.6.0 40 Bytes

k->rationalize(tan(sum(x->atan(x),1:k)))

Es ist eine einfache Implementierung der Frage. Die Präzision des Rationalisierens kann manchmal komisch sein, funktioniert aber in 99% der Fälle einwandfrei.