Tor

Sie erhalten eine Ganzzahl n( n > 1). Sie müssen ausgegeben , wie viele Permutationen der ganzen Zahlen 1zu ngibt, die beim Start 1, Ende an n, und haben nicht zwei aufeinanderfolgende ganze Zahlen , die um 1 unterscheiden.

Wenn Sie alternativ das vollständige Diagramm erstellen K_nund die Kanten des Pfads entfernen 1-2-3-...-n, müssen Sie die Hamilton-Pfade von 1bis nim verbleibenden Diagramm zählen.

Die Beispiele werden f(n)für eine Funktion verwendet, die ndie Anzahl der gültigen Permutationen ein- und ausgibt, aber Ihre Einreichung kann eine Funktion oder ein Programm sein.

Beispiele

Denn n = 6eine mögliche Lösung ist1-3-5-2-4-6

Dies 1-3-5-2-6-4ist jedoch keine gültige Lösung, da sie nicht mit endet 6.

Tatsächlich n = 6gibt es für nur 2 Lösungen ( 1-4-2-5-3-6ist die andere).

Daher f(6) = 2.

Denn n = 4die einzigen Permutationen, die in 1und enden, 4sind 1-2-3-4und 1-3-2-4. In beiden 2steht das neben dem 3, was aufeinanderfolgende ganze Zahlen ergibt, die sich um 1 unterscheiden f(4) = 0.

Testfälle

f(6) = 2
f(4) = 0
f(8) = 68
f(13) = 4462848

Gewinnkriterium

Dies ist Code-Golf, die kürzeste Antwort gewinnt.

MATL , 16 Bytes

qtq:Y@0&Yc!d|qAs

Probieren Sie es online!

Bei Eingaben übersteigt 12es den Speicherplatz.

Erläuterung

q      % Implicitly input n. Push n-1
tq     % Duplicate and subtract 1: pushes n-2
:      % Range [1 2 ... n-2]
Y@     % Matrix with all permutations, each in a row
0      % Push 0
&Yc    % Append n-1 and predend 0 to each row
!      % Tranpose
d      % Consecutive differences along each column
|      % Absolute value
q      % Subtract 1
A      % All: true if all values in each column are non-zero
s      % Sum. Implicitly display

Mathematica, 58 Bytes, Polynom ( n ) Zeit

Abs[Sum[(k-1)Hypergeometric2F1[k,k-#,2,2](#-k)!,{k,#}]-1]&

Wie es funktioniert

Anstatt mit brachialer Gewalt über Permutationen zu iterieren, verwenden wir die Einschluss-Ausschluss-Prinzip, um sie kombinatorisch zu zählen.

Sei S die Menge aller Permutationen von [1,…, n] mit σ ₁ = 1, σ _n = n , und sei S _i die Menge der Permutationen σ ∈ S, so dass | σ _i - σ _{i + 1} | = 1. Dann ist die Anzahl die wir suchen

| S | - | S ₁ ≤ ≤ S _{n - 1} | = _{≤ 2 ≤ k ≤ n + 1; 1 ≤ i 2 <⋯ < i k - 1 < n} (-1) ^{k - 2} | S _{i 2} ∩ ⋯ ∩ S _{i k - 1} |.

Nun ist | S _{i 2} ≤ ≤ S _{i k - 1} | hängt nur von k und von der Anzahl j von Läufen aufeinanderfolgender Indizes in [ i ₁ , i ₂ ,…, i _{k - 1} , i _k ] ab, wobei wir der Einfachheit halber i ₁ = 0 und i _k festlegen = n . Speziell,

| S _{i 2} ≤ ≤ S _{i k - 1} | = 2 ^{j - 2} ( n - k ) !, für 2 ≤ j ≤ k ≤ n ,
| S _{i 2} ≤ ≤ S _{i k - 1} | = 1, für j = 1, k = n + 1.

Die Anzahl solcher Indexmengen [ i ₁ , i ₂ ,…, i _{k - 1} , i _k ] mit j Läufen ist

( _{K - 1} C _{j - 1} ) ( _{n - k} C _{j - 2} ), für 2 ≤ j ≤ k ≤ n ,
1, für j = 1, k = n + 1.

Das Ergebnis ist dann

(-1) ^{n - 1} + Σ _{2 ≤ k ≤ n} Σ _{2 ≤ j ≤ k} (-1) ^{k - 2} ( _{k - 1} C _{j - 1} ) ( _{n - k} C _{j - 2} ) 2 ^{j - 2} ( n - k )!

Die innere Summe über j kann mit der hypergeometrischen ₂ F ₁ -Funktion geschrieben werden :

(–1) ^{n - 1} + _{≤ 2 ≤ k ≤ n} (–1) ^k ( k - 1) ₂ F ₁ (2 - k , k - n ; 2; 2) ( n - k )!

auf die wir eine Pfaff-Transformation anwenden, mit der wir die Potenzen von −1 mit einem absoluten Wert abschätzen können:

(−1) ^{n - 1} + _{≤ 2 ≤ k ≤ n} (−1) ⁿ ( k - 1) ₂ F ₁ ( k , k - n ; 2; 2) ( n - k )!
= | - 1 + _{≤ 1 ≤ k ≤ n} ( k - 1) ₂ F ₁ ( k , k - n ; 2; 2) ( n - k !) |.

Demo

In[1]:= Table[Abs[Sum[(k-1)Hypergeometric2F1[k,k-#,2,2](#-k)!,{k,#}]-1]&[n],{n,50}]

Out[1]= {1, 0, 0, 0, 0, 2, 10, 68, 500, 4174, 38774, 397584, 4462848, 

>    54455754, 717909202, 10171232060, 154142811052, 2488421201446, 

>    42636471916622, 772807552752712, 14774586965277816, 297138592463202402, 

>    6271277634164008170, 138596853553771517492, 3200958202120445923684, 

>    77114612783976599209598, 1934583996316791634828454, 

>    50460687385591722097602304, 1366482059862153751146376304, 

>    38366771565392871446940748410, 1115482364570332601576605376898, 

>    33544252621178275692411892779180, 1042188051349139920383738392594332, 

>    33419576037745472521641814354312790, 

>    1105004411146009553865786545464526206, 

>    37639281863619947475378460886135133496, 

>    1319658179153254337635342434408766065896, 

>    47585390139805782930448514259179162696722, 

>    1763380871412273296449902785237054760438426, 

>    67106516021125545469475040472412706780911268, 

>    2620784212531087457316728120883870079549134420, 

>    104969402113244439880057492782663678669089779118, 

>    4309132147486627708154774750891684285077633835734, 

>    181199144276064794296827392186304334716629346180848, 

>    7800407552443042507640613928796820288452902805286368, 

>    343589595090843265591418718266306051705639884996218154, 

>    15477521503994968035062094274002250590013877419466108978, 

>    712669883315580566495978374316773450341097231239406211100, 

>    33527174671849317156037438120623503416356879769273672584588, 

>    1610762789255012501855846297689494046193178343355755998487686}

Jelly , 17 16 Bytes

ṖḊŒ!ð1;;⁹IỊṀðÐḟL

Eine monadische Verbindung.

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Wie?

ṖḊŒ!ð1;;⁹IỊṀðÐḟL - Link: number n
Ṗ                - pop (implicit range build) -> [1,n-1]
 Ḋ               - dequeue -> [2,n-1]
  Œ!             - all permutations of [2,n-1]
    ð       ðÐḟ  - filter discard those entries for which this is truthy:
     1;          -   1 concatenated with the entry
       ;⁹        -   ...concatenated with right (n)
         I       -   incremental differences
          Ị      -   is insignificant (absolute value <=1)
           Ṁ     -   maximum
               L - length (the number of valid arrangements)

Japt , 19 18 Bytes

o2 á è_pU äÉ m²e>1

Online testen! Ich würde nicht empfehlen, auf etwas größer als zu testen 10.

Erläuterung

o2 á è_  pU äÉ  m²  e>1
o2 á èZ{ZpU ä-1 mp2 e>1}
                          : Implicit: U = input integer
o2                        : Create the range [2..U-1].
   á                      : Generate all permutations of this range.
     èZ{               }  : Check how many permutations Z return a truthy value:
        ZpU               :   Push U to the end of Z.
            ä-1           :   Push 1 to the beginning of Z, then take the difference
                          :   of each pair of items.
                m         :   Map each item X to
                 p2       :     X ** 2. This gives a number greater than 1 unless the
                          :     item is 1 or -1.
                    e>1   :   Return whether every item in this list is greater than 1.
                          :   This returns `true` iff the permutation contains no
                          :   consecutive pairs of numbers.
                          : Implicit: output result of last expression

05AB1E , 17 Bytes

L¦¨œʒ¹1Š)˜¥Ä1å_}g

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Haskell, 76 65 Bytes

11 Bytes dank @xnor gespeichert.

Wenn Q_recwir das Ergebnis für auf Seite 7 von @ ChristiaanWesterbeeks Fund verwenden, erhalten wir

f 1=1
f n|n<6=0
f n=sum$zipWith((*).f)[n-5..][n-4,1,10-2*n,4,n-2]

Ich verstehe nicht, wie ihr nächstes Ergebnis aussehen wird ha bezieht, aber nach dem Beschleunigen (zuerst durch Auswendiglernen, siehe frühere Versionen, dann wie unten) erhalte ich ihre Zahlen.

Während das oben Genannte in Ordnung ist n=20, ist es wesentlich ein Beispiel, wie man keine Rekursion macht. Hier ist eine schnellere Version (nur für n>=6), die auch nur konstanten Speicher benötigt - wenn nur die Zahlen nicht weiter steigen würden ...

f n=last$foldl(#)[1,0,0,0,0][6..n]
l#n=tail l++[sum$zipWith(*)l[n-4,1,10-2*n,4,n-2]]

Das gibt

Prelude> f 50
1610762789255012501855846297689494046193178343355755998487686
Prelude> f 500
659178618863924802757920269977240274180092211041657762693634630044383805576666007245903670780603497370173231423527767109899936008034229541700392144282505597945561328426013937966521561345817045884498867592832897938083071843810602104434376305964577943025310184523643816782047883794585616331928324460394146825636085453532404319881264974005968087265587062691285454120911586459406436421191277596121471930913837355151842093002557978076653884610826296845041929616496533544124347765641367732716560025553179112645454078955409181466212732427071306363820080109636358537270466838558068527692374178581063316309789026101221004745226182671038004326069705775312654329754698423385241664984156235692539255677944294995403233446243315371404887473868003155621849544566385172835597260848972758443874423271017007843907015007416644383573987606586308556317833384896267539628278571497402655322562624217658332870157802254043614726316296058329670971054977099155788604175817828380564156329839201579006169173002756295957371639199917376529472990059986681882194726437566769717959443857298155265292535858523609764515938314672724480762724541633037484152303637096

Es ist kein Problem, es auch zu bekommen, f 5000aber ich möchte das Ergebnis nicht einfügen ...

Übrigens ist es möglich, keine ausgefallene Mathematik zu verwenden und trotzdem keine (ultra-) rohe Gewalt anzuwenden. Anstatt alle Permutationen zu betrachten, betrachten Sie zunächst Teilpermutationen und erweitern Sie sie nur, wenn sie noch nicht ungültig sind. Es hat keinen Sinn, alle Permutationen zu betrachten, die mit beginnen 1 6 5. Zweitens mögen 1 3 5 7und 1 5 3 7haben einige partielle Permutationen genau die gleichen gültigen Fortsetzungen. Behandeln Sie sie also zusammen. Mit diesen Ideen könnte ich die Werte bis zu n=16 0,3s berechnen.

Python, 125 Bytes

from itertools import*
lambda n:sum(p[-1]-p[0]==n-1and all(~-abs(x-y)for x,y in zip(p,p[1:]))for p in permutations(range(n)))

Mathematica, 66 Bytes

Count[Permutations@Range@#,x:{1,__,#}/;FreeQ[Differences@x,1|-1]]&

Erläuterung

Functionmit erstem argument #.

Count[                                                             (* Count the number of *)
      Permutations@                                                (* permutations of *)
                   Range@#,                                        (* the list {1, ..., #} *)
                           x:{1,__,#}                              (* of the form {1, __, #} *)
                                     /;                            (* such that *)
                                             Differences@x,        (* the list of differences of consecutive elements *)
                                       FreeQ[                      (* is free of elements of the form *)
                                                           1|-1    (* 1 or -1 *)
                                                               ]]&

Javascript (ES6), 100 74 72 60 Bytes

f=n=>n--<6?!n|0:f(n)*--n+4*f(n--)-2*f(n--)*--n+f(n)*++n+f(n)

Unten ist die Version vor der Golf-Meisterschaft von @PeterTaylor

f=n=>n<6?n==1|0:(n-4)*f(n-5)+f(n-4)-2*(n-5)*f(n-3)+4*f(n-2)+(n-2)*f(n-1)

Dank der Antwort von @ChristianSievers, die es geschafft hat, eine Haskell-Lösung aus einem Papier zu entwerfen , das ich nach dem googeln von '0, 2, 10, 68, 500, 4174, 38774, 397584' gefunden habe, ist hier eine Javascript-Version, die auch nicht permutiert.

Verwendung

for (i=1; i<=20; i++) {
  console.log(i, f(i))
}

1 1 
2 0 
3 0 
4 0 
5 0 
6 2 
7 10 
8 68 
9 500 
10 4174 
11 38774 
12 397584 
13 4462848 
14 54455754 
15 717909202 
16 10171232060 
17 154142811052 
18 2488421201446 
19 42636471916622 
20 772807552752712

Brachylog , 26 Bytes

{⟦₁pLh1&~tLs₂ᶠ{-ȧ>1}ᵐ}ᶜ|∧0

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Erläuterung

{                    }ᶜ       Output = count the number of outputs of:
 ⟦₁pL                           L is a permutation of [1, …, Input]
    Lh1                         The head of L is 1
       &~tL                     The tail of L is the Input
          Ls₂ᶠ                  Find all sublists of length 2 of L
              {    }ᵐ           Map on each sublist:
               -ȧ>1               The elements are separated by strictly more than 1
                       |      Else (no outputs to the count)
                        ∧0    Output = 0

Python 3 , 109 107 102 Bytes

q=lambda s,x,n:sum(q(s-{v},v,n)for v in s if(v-x)**2>1)if s else x<n;f=lambda n:q({*range(2,n)},1,n-1)

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Es wurden vier Bytes entfernt, indem nicht versucht wurde, die Funktion in einer Zeile (wie von @shooqie vorgeschlagen) und ein weiteres Byte durch absein Quadrat zu ersetzen . (Benötigt Python 3.5+)

Python 2 , 136 Bytes

-10 Bytes dank @ovs.

lambda n,r=range:sum(x[0]<1and~-n==x[-1]and 2+~any(abs(x[i]-x[i+1])<2for i in r(n-1))for x in permutations(r(n)))
from itertools import*

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Mathematica, 134 Bytes

(s=Permutations@Range[2,#-1];g=Table[Join[Prepend[s[[i]],1],{#}],{i,Length@s}];Length@Select[Union@*Abs@*Differences/@g,FreeQ[#,1]&])&

Testfälle n: 2 bis 12

{0, 0, 0, 0, 2, 10, 68, 500, 4174, 38774, 397584}

Python 2 , 105 Bytes

lambda n:reduce(lambda a,i:a+[i*a[-5]+a[-4]+2*(1-i)*a[-3]+4*a[-2]+(i+2)*a[-1]],range(2,n),[0,1]+4*[0])[n]

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Dies basiert auf der Arbeit von Philippe Flajolet, die von @Christiaan Westerbeek entdeckt wurde . Es ist viel schneller und zwei Bytes kürzer als meine Python 3-Lösung, die die möglichen Permutationen auflistet. (In Python 3 reducewurde ärgerlicherweise nach verschoben functools.)

Es gibt eine viel kürzere Version mit numpy's dot product, die jedoch sehr schnell überläuft und den Import von numpy erfordert. Aber wofür es sich lohnt:

lambda n:reduce(lambda a,i:a+[dot([i,1,2-2*i,4,i+2],a[-5:])],range(2,n),[0,1]+4*[0])[n]