Hilf Gödel bei seiner β-Funktion

Gödels β-Funktion verwendet drei natürliche Zahlen als Argumente.

Es ist definiert als β(x,y,z) = rem(x, 1 + (z + 1) · y) = rem(x, (z · y + y + 1) )

wobei rem (a, b) den Rest nach ganzzahliger Division von a durch b bezeichnet.

Das β-Lemma besagt nun, dass:

Für jede Folge von natürlichen Zahlen (k_0, k_1,…, k_n) gibt es natürliche Zahlen b und c, so dass für jedes i ≤ n β (b, c, i) = k_i gilt.

Gödel braucht Hilfe bei der Suche nach bund cfür einen bestimmten Input (k_0, k_1, … , k_n), k_i ∈ ℕ.

Schreiben Sie eine Funktion, die ein nmit natürlichen Zahlen gefülltes Array von Länge einnimmt und eine mögliche b,cAusgabe liefert , die das Lemma für das Array erfüllt.

Erhalten Sie keine Lösungen mit roher Gewalt!

(Meiner völlig unprofessionellen Meinung nach ist es brachiale Gewalt, wenn man zuerst eine Zahl erhält und dann die Berechnung durchführt. Das bedeutet, die Zahl zu erraten und dann zu prüfen, ob die Vermutung richtig war. Was ich hier codieren möchte, ist eine Lösung, die die berechnet Zahlen und muss nicht überprüfen, ob sie das Lemma erfüllen, weil sie dazu berechnet wurden.)

Konstruieren Sie sie mit den angegebenen Gleichungen und Informationen. Der kürzeste Code gewinnt, Bonuspunkte, wenn Sie es tun, Javascriptweil ich gerade dabei bin:)

Beispiel:

[5, 19, 7, 8] -> (1344595, 19)
1344505 % (1 + (0 + 1) * 19) = 5
1344505 % (1 + (1 + 1) * 19) = 19
1344505 % (1 + (2 + 1) * 19) = 7
1344505 % (1 + (3 + 1) * 19) = 8

JavaScript (ES6), 104 Byte

a=>[c=a.reduce(c=>c*++i,Math.max(...a),i=0),a.reduce(g=(x,k)=>x%m-k?g(x+n,k):(n*=m,m+=c,x),0,n=1,m=c+1)]

Gibt [c, b]als Array zurück. Die Lösung, die es zurückgibt, ist nicht minimal in, caber ich denke, es ist minimal in bfür das gegebene c. Für 120 Bytes gibt dies Lösungen zurück, die in cund bfür das gegebene minimal sind c:

f=(a,c=1,b=a.reduce(g=(x,k)=>x%m-k?d--?g(x+n,k):0/0:n%m?g(x,k,n+=o):(o=n,d=m+=c,x),0,o=n=1,d=m=c+1))=>1/b?[b,c]:f(a,c+1)

Ungolfed-Minimallösungslöser:

function godel(a) {
    for (c = 0;; c++) {
        var b = 0, n = 1, i = 0;
        for (;;) {
            var m = c * i + c + 1;
            // Increase b until β(b,c,i) = a[i]
            // Adding n won't change output for smaller i
            for (j = 0; j < m; j++) if (b % m != a[i]) b += n;
            if (j == m) break; // couldn't find a remainder, c too low
            i++;
            if (i == a.length) return [b, c]; // Result!
            // Next time we want adding n to b not to change β(b,c,i)
            for (j = 1; n * j % m != 0; j++);
            n *= j;
        }
    }
}