Python 2.7
Dieser Ansatz nutzt die folgenden Überlegungen:
Jede ganze Zahl kann als Summe von Zweierpotenzen dargestellt werden. Die Exponenten in Zweierpotenzen können auch als Zweierpotenzen dargestellt werden. Beispielsweise:
8 = 2^3 = 2^(2^1 + 2^0) = 2^(2^(2^0) + 2^0)
Diese Ausdrücke, mit denen wir enden, können als Mengen von Mengen dargestellt werden (in Python habe ich die eingebauten verwendet frozenset):
0wird die leere Menge {}.2^awird die Menge, die die Menge darstellt a. ZB: 1 = 2^0 -> {{}}und 2 = 2^(2^0) -> {{{}}}.a+bwird zur Verkettung der Mengen, die aund darstellen b. Z.B,3 = 2^(2^0) + 2^0 -> {{{}},{}}
Es stellt sich heraus, dass Ausdrücke des Formulars 2^2^...^2leicht in ihre eindeutige Mengenrepräsentation umgewandelt werden können, selbst wenn der numerische Wert viel zu groß ist, um als Ganzzahl gespeichert zu werden.
Für n=20läuft dies in 8.7s auf CPython 2.7.5 auf meinem Computer (etwas langsamer in Python 3 und viel langsamer in PyPy):
"""Analyze the expressions given by parenthesizations of 2^2^...^2.
Set representation: s is a set of sets which represents an integer n. n is
given by the sum of all 2^m for the numbers m represented by the sets
contained in s. The empty set stands for the value 0. Each number has
exactly one set representation.
In Python, frozensets are used for set representation.
Definition in Python code:
def numeric_value(s):
n = sum(2**numeric_value(t) for t in s)
return n"""
import itertools
def single_arg_memoize(func):
"""Fast memoization decorator for a function taking a single argument.
The metadata of <func> is *not* preserved."""
class Cache(dict):
def __missing__(self, key):
self[key] = result = func(key)
return result
return Cache().__getitem__
def count_results(num_exponentiations):
"""Return the number of results given by parenthesizations of 2^2^...^2."""
return len(get_results(num_exponentiations))
@single_arg_memoize
def get_results(num_exponentiations):
"""Return a set of all results given by parenthesizations of 2^2^...^2.
<num_exponentiations> is the number of exponentiation operators in the
parenthesized expressions.
The result of each parenthesized expression is given as a set. The
expression evaluates to 2^(2^n), where n is the number represented by the
given set in set representation."""
# The result of the expression "2" (0 exponentiations) is represented by
# the empty set, since 2 = 2^(2^0).
if num_exponentiations == 0:
return {frozenset()}
# Split the expression 2^2^...^2 at each of the first half of
# exponentiation operators and parenthesize each side of the expession.
split_points = xrange(num_exponentiations)
splits = itertools.izip(split_points, reversed(split_points))
splits_half = ((left_part, right_part) for left_part, right_part in splits
if left_part <= right_part)
results = set()
results_add = results.add
for left_part, right_part in splits_half:
for left in get_results(left_part):
for right in get_results(right_part):
results_add(exponentiate(left, right))
results_add(exponentiate(right, left))
return results
def exponentiate(base, exponent):
"""Return the result of the exponentiation of <operands>.
<operands> is a tuple of <base> and <exponent>. The operators are each
given as the set representation of n, where 2^(2^n) is the value the
operator stands for.
The return value is the set representation of r, where 2^(2^r) is the
result of the exponentiation."""
# Where b is the number represented by <base>, e is the number represented
# by <exponent> and r is the number represented by the return value:
# 2^(2^r) = (2^(2^b)) ^ (2^(2^e))
# 2^(2^r) = 2^(2^b * 2^(2^e))
# 2^(2^r) = 2^(2^(b + 2^e))
# r = b + 2^e
# If <exponent> is not in <base>, insert it to arrive at the set with the
# value: b + 2^e. If <exponent> is already in <base>, take it out,
# increment e by 1 and repeat from the start to eventually arrive at:
# b - 2^e + 2^(e+1) =
# b + 2^e
while exponent in base:
base -= {exponent}
exponent = successor(exponent)
return base | {exponent}
@single_arg_memoize
def successor(value):
"""Return the successor of <value> in set representation."""
# Call exponentiate() with <value> as base and the empty set as exponent to
# get the set representing (n being the number represented by <value>):
# n + 2^0
# n + 1
return exponentiate(value, frozenset())
def main():
import timeit
print timeit.timeit(lambda: count_results(20), number=1)
for i in xrange(21):
print '{:.<2}..{:.>9}'.format(i, count_results(i))
if __name__ == '__main__':
main()
(Das Konzept des Memoization Decorators wurde von http://code.activestate.com/recipes/578231-wahrscheinlich-der-schnellste-Memoization-Decorator-in- / kopiert .)
Ausgabe:
8.667753234
0...........1
1...........1
2...........1
3...........2
4...........4
5...........8
6..........17
[...]
19.....688366
20....1619087
Timings für verschiedene n:
n time
16 0.240
17 0.592
18 1.426
19 3.559
20 8.668
21 21.402
Jegliche nüber 21 führt zu einem Speicherfehler auf meinem Rechner.
Es würde mich interessieren, ob jemand dies beschleunigen kann, indem er es in eine andere Sprache übersetzt.
Bearbeiten:get_results Funktion optimiert . Die Verwendung von Python 2.7.5 anstelle von 2.7.2 beschleunigte zudem die Ausführung.
2^nwird und es daher unnötig wäre, alles außer zu verfolgenn. Das heißt, nur die Regeln der Potenzierung zu verwenden, scheint klug. Es gibt jedoch sicherlich eine intelligentere und vollständig algebraische Möglichkeit, dies zu tun.