Vor ungefähr einem Jahr wurden Sie gebeten, die XOR-Primzahlen zu finden . Dies sind Zahlen, deren einzige Faktoren 1 und sich selbst sind, wenn eine XOR-Multiplikation in Basis 2 durchgeführt wird . Jetzt werden wir die Dinge ein bisschen aufpeppen.

Wir werden die XOR-Primzahlen in Basis -2 finden

Konvertieren in Basis -2

Basis -2 ist wie jede andere Basis. Die am weitesten links stehende Stelle ist die 1s-Stelle (1 = (-2) ⁰ ), daneben die -2s-Stelle (-2 = (-2) ¹ ), daneben die 4s-Stelle (4 = (-2) ) ² ) und so weiter und so fort. Der große Unterschied besteht darin, dass negative Zahlen in der Basis -2 ohne negatives Vorzeichen dargestellt werden können.

Hier einige Beispielkonvertierungen:

Decimal | Base -2
-----------------
 6      |   11010
-7      |    1001
 12     |   11100
-15     |  110001

XOR-Addition in Base -2

Die XOR-Addition in Base -2 entspricht weitgehend der XOR-Addition in Binärform. Sie konvertieren einfach die Zahl in Basis -2 und XOR für jede Stelle. (Dies ist dasselbe wie Addition ohne Carry)

Hier ist ein Beispiel, das Schritt für Schritt durchgearbeitet wird:

(Wir werden das Symbol verwenden +', um die Addition von Base -2 XOR anzuzeigen.)

Beginnen Sie in Basis 10:

6 +' -19

In Basis -2 konvertieren:

11010 +' 10111

Fügen Sie sie hinzu, ohne zu tragen:

   11010
+' 10111
---------
   01101

Konvertieren Sie Ihr Ergebnis wieder in Basis 10:

-3

XOR-Multiplikation in Basis -2

Wiederum ist die XOR-Multiplikation in Basis -2 fast dieselbe wie die XOR-Multiplikation in Binär. Wenn Sie nicht vertraut mit XOR - Multiplikation in der Basis sind 2 gibt es eine ausgezeichnete Erklärung hier empfehle ich Ihnen zu diesem zunächst einen Blick.

Die XOR-Multiplikation in Basis -2 entspricht der Durchführung einer langen Multiplikation in Basis -2, außer wenn es um den letzten Schritt geht, anstatt alle Zahlen mit einer traditionellen zu addieren, verwenden +Sie die +'oben definierte.

Hier ist ein Beispiel, das unten ausgearbeitet wurde:

Beginnen Sie in Dezimalzahl:

8 *' 7

In Basis -2 konvertieren:

11000 *' 11011

Lange Teilung einrichten:

   11000
*' 11011
---------

Multiplizieren Sie die erste Zahl mit jeder Stelle in der zweiten

      11000
*'    11011
------------
      11000
     11000
        0
   11000
  11000

Addieren Sie alle Ergebnisse mit der Basis -2 XOR-Addition

       11000
*'     11011
-------------
       11000
      11000
         0
    11000
+' 11000
-------------
   101101000

Konvertieren Sie das Ergebnis zurück in eine Dezimalzahl:

280

Die Herausforderung

Ihre Herausforderung besteht darin, zu überprüfen, ob eine Zahl eine XOR-Primzahl in Basis -2 ist oder nicht. Eine Zahl ist eine XOR-Primzahl in der Basis -2, wenn das einzige Paar von ganzen Zahlen, die sich in der Basis mit ihr multiplizieren, 1 und sich selbst ist. (1 ist keine Primzahl)

Sie nehmen eine Zahl auf und geben einen Booleschen Wert aus, der wahr ist, wenn die Eingabe ansonsten eine XOR-Primzahl in der Basis -2-Falschheit ist.

Lösungen werden in Bytes bewertet, wobei die niedrigste Anzahl von Bytes als Ziel erreicht wird.

Testfälle

Das Folgende sind alle XOR-Primzahlen in Basis -2:

-395
-3
-2
 3
 15
 83

Die folgenden sind keine XOR-Primzahlen in Basis -2:

-500
-4
 0
 1
 258
 280

Mathematica, 156 101 Bytes

IrreduciblePolynomialQ[FromDigits[{#}//.{a_,p___}/;a!=1&&a!=0:>{-⌊a/2⌋,a~Mod~2,p},x],Modulus->2]&

Wie hier angegeben , funktioniert dies, weil die XOR-Multiplikation im Wesentlichen eine Multiplikation im Polynomring F_2 ist.

Erläuterung

{#}//.{a_,p___}/;a!=1&&a!=0:>{-⌊a/2⌋,a~Mod~2,p}

Beginnen Sie mit {input}. Ersetze wiederholt eine Zahl a(außer 0 und 1) durch aMod 2 und stelle -floor ( a/ 2) voran , bis sie sich nicht mehr ändert. Dies berechnet die Eingabe in Basis -2.

FromDigits[ ... ,x]

Erstellen Sie ein Polynom mit den Ziffern der Basis -2-Zahl xals Variable. zB {1, 1, 0}->x^2 + x

IrreduciblePolynomialQ[ ... ,Modulus->2]

Überprüfen Sie mit Modul 2, ob das resultierende Polynom nicht reduzierbar ist.

Alte Version (156 Bytes)

If[#==1,1,Outer[FromDigits[BitXor@@(#~ArrayPad~{i++,--l}&)/@Outer[i=0;l=m;1##&,##],-2]&,k=Tuples[{0,1},m=Floor@Log2[8Abs@#~Max~1]]~Drop~{2},k,1,1]]~FreeQ~#&

Liste der Primzahlen

Hier ist eine Liste von Basis -2 XOR-Primzahlen zwischen -1000 und 1000 (Pastebin)