Wie viele solcher Stellen gibt es? (Schach / Mathe-Schachmatt-Rätsel)

Ich interessiere mich für diese Art von Position:

Es sind nur 4 Teile auf dem Brett. Wenn die Weißen an erster Stelle stehen, können sie in einem Zug schachmatt setzen. Wenn die Schwarzen an erster Stelle stehen, können sie in einem Zug schachmatt setzen. Beispielsweise:

Die Frage ist: Wie viele solcher Stellen gibt es?

Ich finde 3 Hauptpositionen:

Jeder von ihnen gibt uns weitere 6 Positionen. Wir können die Startposition der schwarzen Königin auf 6 weitere 6 Felder verschieben. Wir haben also 21 Grundpositionen.

Gibt es noch andere Grundstellungen?

Für jede Grundstellung können wir:

1) schalte die Farbe x2

2) drehen Sie die Platine x4

3) Spiegelposition x2

Eine Grundposition erzeugt also 2x4x2 = 16 Positionen. Und die endgültige Antwort lautet: Es gibt 16x21 = 336 solcher Positionen.

Ist das richtig?

Ihre zweite Grundstellung erlaubt 4 weitere Varianten als die, die Sie bereits angegeben haben. Dies wird durch das folgende Diagramm angezeigt:

Das bringt die Anzahl der "Grundpositionen" auf 25. Ob diese Ergänzung die Liste erschöpfend macht oder nicht, weiß ich nicht ganz genau (obwohl ich denke, dass es so ist).

Unabhängig von der Anzahl der Grundpositionen ist Ihre Extrapolation der Gesamtanzahl der Positionen von dort (x2 für den Farbschalter und x8 für Transformationen des Bretts) in jedem Fall korrekt, da die Symmetriegruppe des Schachbretts tatsächlich die Ordnung 8 hat Dies wird zum Beispiel auf Seite 334 dieses Kapitels aus dem Handbuch der Einschränkungsprogrammierung bestätigt . (Man muss hier allerdings vorsichtig sein, wenn es um Überzählungen geht; siehe unten). Im Moment würde ich also annehmen, dass die Antwort 25 x 16 = 400 ist.

Ich füge diesen mathematischen Exkurs hinzu, weil ich aus Ihrem Profil sehe, dass Sie an einem weiteren Mathematikstudium interessiert sind. Ich sage hier vielleicht nichts, was Ihnen noch nicht bewusst ist, aber hier geht es trotzdem.

Beachten Sie, dass es einige Schachpositionen gibt, die unter verschiedenen Symmetrien des Brettes identisch sind. Betrachten Sie zum Beispiel den Vorgang des Reflektierens über die Diagonale a1-h8. Diese Symmetrie der Platte ändert im Allgemeinen eine gegebene Position, z

wird

Aber natürlich ändern sich einige Positionen (nämlich diejenigen, die nur Teile auf der a1-h8-Diagonale haben) nicht unter dieser Symmetrie, z. B. die Position

bleibt unverändert, wenn wir über diese Diagonale reflektieren.

Aufgrund dieser Art von Verhalten muss man im Allgemeinen vorsichtig sein, um bei dieser Art von Zählproblem nicht zu viel zu zählen. Für Ihr Problem bedeutet dies, dass Sie sicher sind, dass sich keine Ihrer Grundpositionen unter einer der (Nichtidentitäts-) Symmetrien wiederholt, sodass unsere "x 16", wenn Sie die Gesamtzahl der Positionen aus der Anzahl der Grundpositionen erhalten, nicht Überzählung. Im vorliegenden Fall sind Ihre Grundpositionen so kompliziert / asymmetrisch, dass es intuitiv klar ist, dass sich keine von ihnen unter diesen Symmetrien wiederholt, sodass Sie sich keine Sorgen machen müssen am meisten über Fehler besorgt sein. (In der Tat gibt es ein Sprichwort: Wenn Sie Fehler in einem mathematischen Beweis finden möchten, beginnen Sie mit der Angabe "Es ist klar, dass ..." an einer beliebigen Stelle.)