Was bestimmt die Konfiguration von Umlaufbahnen in einem Binärsystem?

Es gibt im Wesentlichen zwei Konfigurationen von Umlaufbahnen, die ein System mit zwei Körpern haben kann:

Eine Konfiguration, bei der sich die Pfade nicht kreuzen:

Eine Konfiguration, bei der sich die Pfade kreuzen:

Hinweis: Die Größe der Körper relativ zueinander ist hier unwichtig.

Was bestimmt, zu welcher der beiden Konfigurationen sich ein Binärsystem entwickeln wird?

Nach der Konvention $\mathbf{r} = \mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$, $M = m_1+m_2$Im Schwerpunktrahmen haben wir per Definition:

$$\begin{eqnarray*}\mathbf{r}_1 = -\frac{m_2}{M}\mathbf{r}\text{,}\quad&\mathbf{r}_2 = \frac{m_1}{M}\mathbf{r}\text{.}\end{eqnarray*}$$ Daher, $\ddot{\mathbf{r}} = -GM\hat{\mathbf{r}}/r^2$impliziert, dass die einzelnen Bahnen in diesem Rahmen ähnliche konische Abschnitte sind, und im gebundenen Fall sind sie außerdem Ellipsen, die einen gemeinsamen Fokus im Massenmittelpunkt haben, wobei alle drei unterschiedlichen Brennpunkte kollinear und mit dem Zentrum zwischen ihnen sind. Obwohl es einen entarteten Fall einer Kreisbahn gibt.

Daher gibt es eine geometrisch einfache Bedingung für die Schnittkonfiguration: Es gibt eine Schnittmenge, wenn und nur wenn der Abstand zur Apoapsis der größeren Masse (kleinere Umlaufbahn) größer oder gleich dem Abstand zur Periapsis der kleineren Masse (größere Umlaufbahn) ist ). Da eine allgemeine Ellipse in Polarkoordinaten um einen Fokus durch beschrieben werden kann

$$r = \frac{p}{1+e\cos(\phi-\phi_0)}\text{,}$$ wo $e$ ist die Exzentrizität, und die einzelnen Bahnen sind proportional, wir haben Schnittmenge genau dann, wenn $$\frac{1-e}{1+e}\leq \frac{m_1}{m_2}\leq\frac{1+e}{1-e}\text{,}$$ wie die Apsiden auftreten, wenn der Cosinus-Term ist $\pm 1$.