Woher kommt diese berühmte Planetary Precession Formula?

Die folgende Gleichung (die ich als Planetary Precession Formula, kurz PPF, bezeichnen werde) erschien berühmt in einer Veröffentlichung von Einstein aus dem Jahr 1915, in der er anzeigte, wie sie aus seiner Allgemeinen Relativitätstheorie (GTR) abgeleitet werden könnte.

ϵ = \frac{24 π^{3} a^{2}}{c^{2} T^{2} (1 - e^{2})}

$\epsilon = \frac{24 \, \pi^3a^2}{c^2 T^2(1-e^2)}$

wobei die (anomale, nicht-Newtonsche) Winkelpräzession pro Umlaufbahn ist, die Halbhauptachse der Umlaufbahn ist, die Lichtgeschwindigkeit ist, die Umlaufzeit ist, die Elliptizität der Umlaufbahn ist. $\epsilon$ $a$ $c$ $T$ $e$

Die PPF-Formel sagt die (anomale, nicht-Newtonsche) Präzession von Merkur und anderen Sonnenplaneten genau voraus.

Die Formel war in wissenschaftlichen Kreisen schon lange vor 1915 bekannt. Zum Beispiel leitete Gerber (1898) sie aus seinem eigenen (weithin verspotteten) Schwerkraftmodell ab. In dem Internetartikel Gerber's Gravity steht das geschrieben

In den 1890er Jahren wurde es für Physiker zu einer ziemlich beliebten Aktivität, verschiedene Gravitationspotentiale basierend auf der endlichen Ausbreitungsgeschwindigkeit vorzuschlagen, um einen Teil oder die gesamte Orbitalpräzession von Merkur zu erklären. Oppenheim veröffentlichte 1895 eine Überprüfung dieser Vorschläge. Das typische Ergebnis solcher Vorschläge ist ein vorhergesagter nicht-Newtonscher Fortschritt der orbitalen Perihelie pro Umdrehung von ...>

k \frac{π m}{L c^{2}} = k \frac{4 π^{3} a^{2}}{c^{2} T^{2} (1 - e^{2})} .

$k\,\frac {\pi\,m}{L \,c^2} = k \frac{4 \, \pi^3a^2}{c^2 T^2(1-e^2)}.$

wobei das Semilatusrektum einer Ellipse ist, ist eine Funktion der Winkelgeschwindigkeit eines umlaufenden Planeten: mit und ist eine Konstante, die aus der Theorie abgeleitet werden könnte. $L = a(1 - e^2)$ $m$ $\omega$ $m = a^3 \omega^2$ $\omega = 2\pi/T$ $k$

Mit wir eindeutig die oben angegebene PPF-Formel. $k = 6$

Ich möchte wissen, woher der Ausdruck kommt. Aus dem Artikel geht hervor, dass er aus dem 28-seitigen Übersichtsartikel von Oppenheim, 1895, stammt, der hier gescannt wird . Ich habe die Scans dieses Papiers durchgesehen, aber ohne diese Gleichung explizit zu finden (das Papier ist auf Deutsch, was ich sehr schlecht kenne, Google Translate hilft ein bisschen, hinterlässt aber viel Unklarheit). Es kann sein, dass der anonyme Autor des Artikels den Ausdruck aus einer Rezension von Oppenheims Papier oder sogar den Originalpapieren (französisch und deutsch) selbst extrahiert hat, aber er ist nicht erreichbar. Vielleicht ist hier jemand mit dieser Ära der astrophysikalischen Geschichte vertraut und kann mich in die richtige Richtung weisen? $k\pi m/Lc^2$

orbit general-relativity

— steveOw
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Interessante Frage. Kleinere pedantische Anmerkung: Wenn Sie den Punkt wie in den großen mathematischen Umgebungen platzieren, erhalten $$formula\text{.}$$Sie keine nachfolgende Periode allein in einer einzelnen Zeile.

— Stan Liou

@ Stan Liou. Guter Stil unterstützt die Kommunikation, daher freue ich mich über solche Tipps :).

— SteveOw

Ich weiß nicht, wo diese Formel zum ersten Mal vollständig veröffentlicht wurde, aber Oppenheim macht zumindest etwas sehr Nahes daran. Sie zunächst einige der relevanten Symbole in Oppenheim, obwohl sie eher Standard sind: Wir können Wenn wir die Notation massieren, wird die gesuchte Proportionalität wie folgt angegeben:

\begin{array}{rcl} k & = & \sqrt{G} = Gaussian gravitational constant \\ ☊ & = & longitude of the ascending node \\ ω & = & argument of perihelion \\ ϖ & = & ω + ☊ = longitude of perihelion \\ n & = & k \sqrt{(m_{0} + m_{1}) / a^{3}} = mean motion \end{array}

$\def\anode{☊}\begin{eqnarray*} k &=& \small\sqrt{G} = \small\text{Gaussian gravitational constant}\\ \anode &=& \small\text{longitude of the ascending node}\\ \omega &=& \small\text{argument of perihelion}\\ \varpi &=& \omega+\anode = \small\text{longitude of perihelion}\\ n &=& \small{k\sqrt{(m_0+m_1)/a^3}} = \small\text{mean motion} \end{eqnarray*}$

\frac{π m}{L c^{2}} ⇝ \frac{π G M}{a (1 - e^{2}) c^{2}} ⇝ \frac{π n^{2} a^{2}}{(1 - e^{2}) c^{2}} .

$\frac{\pi m}{Lc^2} \leadsto \frac{\pi GM}{a(1-e^2)c^2} \leadsto \frac{\pi n^2a^2}{(1-e^2)c^2}\text{.}$ Da die mittlere Bewegung , wobei die Umlaufzeit ist, ist was bedeutet, dass, wenn wir über einen Perihelvorschub von sprechen möchten) pro Umlaufbahn ist es äquivalent, über einen Begriff in der Form zu sprechen ich kann nicht finden , wo, wenn in der Tat überall , Oppenheim den fehlenden Faktor betrachtet

n \equiv 2 π / T

$n\equiv 2\pi/T$

T

$T$

\frac{n^{3} a^{2}}{c^{2}} = 2 π \frac{n^{2} a^{2}}{c^{2}} \frac{1}{T},

$\frac{n^3a^2}{c^2} = 2\pi\frac{n^2a^2}{c^2}\frac{1}{T}\text{,}$

δ ϖ \propto \frac{π n^{2} a^{2}}{(1 - e^{2}) c^{2}}

$\delta\varpi \propto \frac{\pi n^2a^2}{(1-e^2)c^2}$

\frac{d ϖ}{d t} \propto \frac{n^{3} a^{2}}{(1 - e^{2}) c^{2}} = \frac{n^{3} a^{2}}{c^{2}} (1 + e^{2} + O (e^{4})) .

$\frac{\mathrm{d}\varpi}{\mathrm{d}t} \propto \frac{n^3a^2}{(1-e^2)c^2} = \frac{n^3a^2}{c^2}\left(1+e^2+\mathcal{O}(e^4)\right)\text{.}$

(1 - e^{2})

$(1-e^2)$ als zur anomalen Präzession gehörend, aber ansonsten ist die Formel definitiv da. Ich vermute, dass er nur eine Kreisbahnnäherung verwendet, , weil sie in Sec. IV (Webers Theorie von 1846) und die Durchführung seiner Berechnung (ohne ) ergeben für Merkur pro Jahrhundert, in guter Übereinstimmung mit seinem angegebenen Ergebnis von . wohingegen das manuelle Eingeben eines Faktors von stattdessen ergibt .

e^{2} \approx 0

$e^2\approx 0$

1 - e^{2}

$1-e^2$

δ ϖ = {13.72}^{″}

$\delta\varpi = 13.72''$

δ ϖ = {13.65}^{″}

$\delta\varpi = 13.65''$

(1 - e^{2})

$(1-e^2)$

δ ϖ = {14.32}^{″}

$\delta\varpi = 14.32''$

Vielleicht hat Oppenheim es nicht explizit betrachtet und der Autor des MathPageshat es als offensichtlich angesehen, dass der Exzentrizitätsfaktor da sein sollte. Oder vielleicht gibt es einen Nebenkommentar im Text, den ich nicht sehe; Leider spreche ich nicht fließend genug Deutsch, um zu verstehen, was los ist.

— Stan Liou
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Vielen Dank für den Hinweis auf die Bedeutung von und das Weglassen von . Ich sehe in am unteren Rand von Oppenheim Seite 22. erscheint auch in Seite 27 (von Clausius). Diese liegen jedoch nicht in der erwarteten Form , wie Sie hervorheben.

k

$k$

(1 - e^{2})

$(1-e^2)$

e

$e$

d L_{o} / d t = (1 / 2) e^{2} . n^{3} a^{2} / c^{2}

$dL_o/dt = (1/2)e^2.n^3a^2/c^2$

e

$e$

d ϖ / d t

$d\varpi/dt$

1 / (1 - e^{2})

$1/(1-e^2)$

— SteveOw