Gibt es eine Obergrenze für stabile L4- oder L5-Massen?

L4 und L5, die Lagrange-Punkte, die 60 Grad vor und um einen umlaufenden Körper führen, sind berühmt für ihre Stabilität.

Ein bekanntes Beispiel sind die trojanischen Aseroide am Sun Jupiter L4 und L5. Ich nicke diesen Körpern zu und bezeichne die Zentralmasse S, die umlaufende Masse J und die L4-Masse T:

Es heißt, dass S / J gleich oder größer als 24,96 sein muss, damit das System stabil ist . Für ein stabiles System gibt es eine Obergrenze für J, sie kann nicht mehr als 4% von S betragen.

Meine Frage: Gibt es eine Obergrenze für Masse T? Wenn T so massereich wie J wäre, könnte das System dann noch stabil sein?

Die Giant Impact Hypothese , eine Theorie darüber, wie der Mond geschaffen wurde, besagt, dass sich die Umlaufbahn eines L4 oder L5 (Ihres 'T') destabilisiert, sobald er 10% der Masse Ihres 'J' überschreitet.

Möglicher Ursprung von Theia

Im Jahr 2004 schlugen der Mathematiker Edward Belbruno von der Princeton University und der Astrophysiker J. Richard Gott III vor, dass Theia am L4- oder L5-Lagrange-Punkt relativ zur Erde (in ungefähr derselben Umlaufbahn und ungefähr 60 ° vor oder hinter) zusammenwächst, ähnlich einem Trojaner-Asteroiden. Zweidimensionale Computermodelle deuten darauf hin, dass die Stabilität der von Theia vorgeschlagenen Trojaner-Umlaufbahn beeinträchtigt worden wäre, wenn ihre wachsende Masse einen Schwellenwert von ungefähr 10% der Erdmasse (der Masse des Mars) überschritten hätte. In diesem Szenario führten Gravitationsstörungen durch Planetesimale dazu, dass Theia von seinem stabilen Lagrange-Standort abwich, und nachfolgende Wechselwirkungen mit Proto-Erde führten zu einer Kollision zwischen den beiden Körpern.

Hinweis: Beantwortung eines Kommentars zur Weltraumforschung

Die klassische Stabilitätsanalyse dieser Librationspunkte geht davon aus, dass wir die Bewegung eines Teilchens untersuchen, dessen Dynamik durch die Gravitationseinflüsse einer primären und sekundären Masse gestört wird, also als Antwort auf den ersten Blick, die Masse von T ist vernachlässigbar - daher werden diese Annahmen durch große Massenzunahmen zunichte gemacht. Ferner handelt es sich bei der Stabilitätsanalyse um eine lineare Stabilitätsanalyse , was bedeutet, dass die Stabilität nur in der Nähe des Gleichgewichtspunkts gültig ist und nur sehr wenige Informationen über das nichtlineare Verhalten gesagt werden können (ein instabiler Gleichgewichtspunkt ist jedoch im instabil nichtlineare Dynamik).

Vor diesem Hintergrund kann der kritische Massenwert im zirkular eingeschränkten Drei-Körper-Problem (CR3BP) aus der folgenden Entwicklung ermittelt werden, die aus den meisten wichtigen astrodynamischen Texten zusammengefasst wird, einschließlich Vallado (1), Roy (2), Schaub (3) oder der wesentliche CR3BP-Text von 1967 von Szebehely (4). Die linearen Variationsbewegungsgleichungen für kleine Störungen in der Ebene um die dreieckigen Librationspunkte finden sich als

$\ddot{\xi}=2\dot{\eta}+U_{xx}^*\xi + U_{xy}^{*}\eta\\ \ddot{\eta}=-2\dot{\xi}+U_{yx}^{*}\xi+U^{*}_{yy}\eta$

wo $\xi,\eta$ sind die Störungen in der $x$ und $y$ Richtungen im CR3BP-Synodenrahmen und $U^{*}_{..}$Dies sind Teilbereiche einer künstlichen Pseudopotentialfunktion. Im Wesentlichen ergibt sich die charakteristische Gleichung für dieses lineare System als$\Lambda^2 + \Lambda + \frac{27}{4}\mu(1-\mu)=0$, wo $\Lambda = \lambda^2$, $\lambda$ ein Eigenwert der tatsächlichen charakteristischen Gleichung sein.

Wenn wir lassen $g = 1-27\mu(1-\mu)$können die vier Wurzeln des Systems als leicht komplizierte Funktionen von ausgedrückt werden $g$, aber das Eigenwertverhalten kann nach dem Wert von klassifiziert werden $g$ wie nachstehend:

• $0 < g \leq 1$: Reine imaginäre Eigenwerte, marginale Stabilität
• $g = 0$: Wiederholte Eigenwerte; weltliche Begriffe vorhanden; instabil
• $g > 0$: Eigenwerte mit positiven Realzahlen; instabil

Das Kritische $\mu$ Wert ($\mu_c$) kommt von der Einstellung $g=0$. Wenn wir das lösen, finden wir das$\mu_c=\frac{1}{2}\left(1\pm\frac{\sqrt{69}}{9}\right)\approx0.0385$. Auch hier ist eine zentrale Voraussetzung für diese Entwicklung , dass die Masse des dritten Körpers zu vernachlässigen ist . Viele interessierende Systeme liegen unter diesem kritischen Massenwert, einschließlich Erde-Mond, Sonne-Erde, Sonne-Jupiter usw.; Einige Systeme liegen jedoch definitiv über diesem Wert - betrachten Sie das Pluto-Charon-System mit a$\mu$ Wert von ungefähr 0,1101.

1: Vallado, DA Grundlagen der Astrodynamik und Anwendungen. 30. Juni 2001. Springer Science & Business Media.

2: Roy, AE Orbital Motion, 4. Aufl. 31. Dezember 2004. CRC Press.

3: Schaub, HP Analytische Mechanik von Raumfahrtsystemen. 2003. AIAA.

4: Szebehely, VG-Theorie der Umlaufbahnen im eingeschränkten Problem der drei Körper. Juni 1967. Akademischer Pr.

Enge Antwort: Wenn alle Massen gleich wären, wäre es eine 3-Körper-Klemperer-Rosette. Es ist bekannt, dass solche trivialen KR-Konfigurationen auf lange Sicht nicht stabil sind.

http://en.wikipedia.org/wiki/Klemperer_rosette