Warum ist der Abstand Erde-Mond nicht bei jedem Perigäum / Apogäum gleich?

Ich frage mich, warum der Abstand Erde-Mond nicht bei jedem Perigäum / Apogäum gleich ist. Ist die Umlaufbahn des Mondes nicht eine feste Ellipse mit der Erde in einem der Schwerpunkte? Wenn ja, sollte der Abstand zum Perigäum / Apogäum nicht ein fester Wert sein?

Ist die Umlaufbahn des Mondes nicht eine feste Ellipse mit der Erde in einem der Schwerpunkte?

Nein, ist es nicht. Dies gilt nicht einmal für die Umlaufbahnen der Planeten um die Sonne. Jeder Planet stört die Umlaufbahnen der anderen Planeten, sodass Keplers Ellipsen eher ungefähr korrekt als genau sind. Die Umlaufbahn des Mondes wird in vielerlei Hinsicht stark von der Sonne gestört. Die Umlaufbahn des Mondes weicht in vielerlei Hinsicht davon ab, eine feste Ellipse zu sein. Ein Ergebnis dieser solaren Störungen (und zu einem viel geringeren Teil Störungen von Venus und Jupiter und zu einem noch geringeren Teil von den anderen Planeten) ist, dass die Umlaufbahn des Mondes auf verschiedene Weise voranschreitet.

Eine solche Präzession ist die Apsidalpräzession. Die Linie von der Erde zu dem Punkt, an dem der Mond das Perigäum erreicht, zeigt nicht auf eine feste Position im Raum. Sie hat stattdessen einen Zeitraum von etwa 8,85 Jahren. Dies führt zu den sogenannten Supermoons, die auftreten, wenn die Umlaufbahn des Mondes nahe am Perigäum ist, wenn der Mond voll ist.

Eine andere solche Präzession ist die Knotenpräzession. Die Knotenlinie (wo der Mond von oben nach unten die Ekliptik kreuzt und umgekehrt) ist ebenfalls vorläufig, jedoch mit einer Periode von ungefähr 18,6 Jahren. Wir bekommen nur Sonnenfinsternisse, wenn sich der Mond sehr nahe an einem Knotenpunkt einer Syzygie befindet (entweder ein Vollmond, der zu einer Mondfinsternis führt, oder ein Neumond, der zu einer Sonnenfinsternis führt).

Wenn der Mond und die Erde weit von anderen Gravitationskörpern entfernt wären, wäre die Umlaufbahn nicht nur sehr gleichmäßig, sondern auch sehr kreisförmig. Umlaufbahnen wie der Erdmond, in denen die gegenseitige Gezeitenkraft stark ist und die Rotationsenergie des inneren Körpers auf die Umlaufenenergie des kleineren Körpers übertragen wird, neigen dazu, sich im Laufe der Zeit zu zirkulieren.

Die Mathematik hinter der 3-Körper-Gravitation ist ziemlich intensiv und überdurchschnittlich gut, aber ich kann es mit einem Bild erklären. Am einfachsten kann man sich das mit Gezeitenkräften vorstellen.

Wir denken, dass Gezeitenkräfte nur einen festen Körper wie Wellen auf der Erde oder den permanenten Gezeitenausbruch auf dem Mond beeinflussen, aber alle Gezeitenkräfte sind eine Variation der Anziehungskraft über verschiedene Entfernungen und weil Erde und Mond aneinander gebunden sind anders als durch die Schwerkraft bedeutet dies, dass die solare Gezeitenkraft auf das Erde-Mond-System angewendet werden kann.

Die Anziehungskraft der Sonne ist auf der der Sonne näheren Seite des Planeten stärker und auf der gegenüberliegenden Seite am schwächsten. Dies geschieht auch relativ zu Erde und Mond, wenn das eine oder andere näher an der Sonne liegt.

Befindet sich die Erd- / Mondumlaufbahn im Vollmond- oder Neumondzustand, ist die von der Sonne ausgeübte Gezeitenkraft am näheren Körper stärker, am weiteren Körper schwächer und die Umlaufbahn dehnt sich effektiv in Richtung der Pfeile auf dem obigen Bild aus.

Wenn sich die Erd-Mond-Umlaufbahn im letzten oder ersten Quartal befindet, ist die von der Sonne ausgeübte Gezeitenkraft senkrecht nach innen gerichtet und die Umlaufbahn quetscht effektiv.

Interessanterweise wirken die Kräfte auch an den Viertelpunkten und überall dazwischen. Wenn der Mond im Abnehmen ist, übt die Sonne mehr Kraft auf das nähere Objekt und weniger Kraft auf das weiter entfernte Objekt aus, was nicht zu einer so starken Änderung der Form führt, aber die Kraft beschleunigt die Objekte effektiv in Bezug aufeinander sie bewegen sich etwas schneller. Das Gegenteil passiert beim Abnehmen des Kaugummis und beim Wachsen des Halbmonds: Die Sonne verlangsamt effektiv die relative Geschwindigkeit zwischen der Erde und dem Mond.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Sonne den Mond ständig relativ zur Erde zieht oder drückt, sodass die Umlaufbahn des Mondes um die Erde (oder für Puristen um das Schwerpunktgebiet) kontinuierlich gedehnt und gequetscht sowie beschleunigt und verlangsamt wird. Man könnte meinen, dies könnte den Mond von der Erde lösen, und das wäre der Fall, wenn der Mond etwa 30-50% weiter entfernt wäre als jetzt. Es ist dieses Ziehen und Strecken der Gezeiten, das die vage Grenze definiert, die die stabile Region der Hügelkugel bildet .

Dieser solare Gezeiteneffekt ist zyklisch und tritt jedes Mal auf, wenn der Mond einen Vollmondzyklus durchläuft. Dies ist eine synodische Umlaufbahn von etwa 29,5 Tagen.

Die "Kepler-Umlaufbahn" des Mondes ist eine siderische Umlaufbahn von etwa 27,3 Tagen.

Wie sieht das aus?

Der Gesamteffekt (in der anderen Antwort vermerkt) ist eine ungewöhnlich hohe apsidale Mondpräzession von nur 8,85 Jahren oder etwas mehr als 118 siderischen (oder Kepler-) Bahnen.

Dies bedeutet, dass sich Apogäum und Perigäum des Mondes für jede Mondumlaufbahn um etwa 3 Grad verschieben. Der Mond kann sich aufgrund der auf ihn einwirkenden Sonnengravitation nicht in einer konstanten Umlaufbahn niederlassen, und die Gezeitenkraft auf das Erde-Mond-System ist bedeutend.

Zum Vergleich: Die Erde hat eine Apsidalpräzession von etwa 112.000 Jahren oder 112.000 Umlaufbahnen, die hauptsächlich von Jupiter und Saturn angetrieben wird. Das ist ungefähr tausendmal weniger Winkeländerung pro Umlaufbahn. Als Seitenleiste haben die Objekte in der Umlaufbahn, beispielsweise die Venus, keinen großen Einfluss auf die Umlaufbahn der Erde. Es sind die äußeren Planeten, die hauptsächlich die Apsidalpräzession antreiben. Neptun zum Beispiel hat keine nennenswerten Außenplaneten, und wenn Planet 9 gefunden wird, ist er zu weit entfernt, sodass die Umlaufbahn von Neptun nahezu kreisförmig ist.

Die aufeinanderfolgenden Apogäum- / Perigäum-Abstände des Mondes von der Erde unterliegen tatsächlich Änderungen: Diese Änderungen sind fast zyklisch und haben einen Hauptzeitraum von fast 205,89 Tagen (fast 7 synodische Monate). Ein wesentlicher Faktor für die Veränderung der Perigäumsentfernungen ist die als Evektion bekannte periodische Sonnenstörung . Dann ist in abnehmender Reihenfolge der maximalen Größe ein zweiter Beitrag auf die Störung zurückzuführen, die als Variation bekannt ist .

Der Rest dieser Antwort fasst Erklärungen zusammen, wie sich die Evektion (zusammen mit der Variation) auf die Perigäumsentfernungen auswirkt: Ebenfalls angeboten wird ein numerisches Beispiel für extreme Mond-Perigäums-Daten aus dem Astronomischen Almanach ('AA') für 2011 : Diese Daten geben an, wie sich die Die Kombination der beiden Effekte kann nahezu den gesamten beobachteten Bereich in Mondperigäumsentfernungen ausmachen. Die Eigenschaften und Größen der beiden Effekte weisen auch auf Merkmale hin, durch die sich die reale Umlaufbahn des Mondes (erheblich) von einer einfachen festen Kepler-Ellipse unterscheidet.

Die Evektion: In älteren Lehrbüchern wurde diskutiert, wie die Evektion zu Änderungen der Apogäum-Perigäum-Abstände führt - zum Beispiel H Godfray (1859), Elementary Treatise on the Lunar Theory . Godfrays Erklärung wird fortgesetzt, indem die praktische Äquivalenz zwischen zwei Formen gezeigt wird, in denen der Längen- und Radiusvektor des Mondes & c. kann ausgedrückt werden:

$(2D-l)$$D$$l$

(2) Die zweite Form ist eine ältere Darstellung der Bewegungen des Mondes, die eine zyklisch variable Exzentrizität und damit auch einen zyklisch variablen Perigäumsabstand, die größte Gleichung usw. voraussetzt.

In Godfrays Buch werden die Auswirkungen auf Längengrad und Mittelpunktsgleichung ziemlich vollständig erklärt (auf S. 66, Art. 70, zusammen mit den vorhergehenden Ableitungen) und dann eine viel kürzere Zusammenfassung der analogen Darstellung der Auswirkungen auf den Radiusvektor (auf S. 69) .76-77, art.85). (Im Detail wird gezeigt, dass der elliptische Term niedrigster Ordnung und der Evektions-Term trigonometrisch kombiniert und neu angeordnet werden können, um eine Näherung an eine variable Ellipse zu erhalten, bei der die Exzentrizität zyklisch schwankt und die Winkelorientierung des Apogäums / Perigäums libriert zyklisch und zeigt seine bekannte mittlere Gesamtdrehzahl Eine entsprechende moderne trigonometrische Entwicklung zeigt im Wesentlichen die gleiche Beziehung zwischen den beiden Formen für die Längengradserie, die bis zur dritten Ordnung reicht.SA Wepster (2010) , auf S. 100–104 in seiner historischen und mathematischen Untersuchung von Tobias Mayers Mondtheorie und -tabellen aus dem 18. Jahrhundert.)

Unabhängig von dieser älteren Art der Erklärung zeigen die Details in Anhang A unten unter Bezugnahme auf moderne Daten, wie der Hauptterm der Evektion den elliptischen Hauptterm verstärkt, wenn die Sonne mit der Apsislinie des Mondes übereinstimmt, und sich ihm widersetzt, wenn Die Sonne steht um 90 ° zu dieser Linie.

$\tau$$D$ Die augenblickliche Größe der Variation hängt von der Mondphase ab und trägt daher auch zu Änderungen der Perigäumsentfernung bei, da der mittlere Zeitraum zwischen Perigäen (~ 27,55 Tage) etwa zwei Tage kürzer ist als der mittlere Zeitraum zwischen Neumonden (~ 27,55 Tage) 29,53 Tage), so dass aufeinanderfolgende Perigäne in verschiedenen Phasen der Lunation auftreten und von der Variation unterschiedlich betroffen sind.

Numerisches Beispiel: Anhang A unten zitiert kürzlich verfeinerte moderne Werte (Paris Observatory)für die Amplitude trigonometrischer Terme, die den Radiusvektor des Mondes beeinflussen. Die Amplitude des Hauptzeitraums der Evektion liegt nahe bei 3699 km, und der Hauptzeitraum der Variation liegt nahe bei 2956 km. Wenn man viele kleinere periodische Effekte ignoriert, kann man von dem, was bereits erwähnt wurde, erwarten, dass, wenn ein Neu- oder Vollmond am Perigäum auftritt (was auch impliziert, dass die Sonne in der Linie der Apsiden ist), die Hauptausdrücke für Evektion und Variation beide eine Verringerung bewirken die Perigäumsentfernung um etwa die Summe der beiden Amplituden, dh um etwa 6655 km. Wenn andererseits ein Perigäum in einem der Mondviertel auftritt (was auch impliziert, dass sich die Sonne in einem Winkel von 90 ° zur Apsislinie befindet), haben beide Begriffe den gegenteiligen Effekt, dh die Perigäumentfernung um etwa 6655 km zu erhöhen . So sind die wichtigsten Begriffe der Evektion und Variation,

Diese trigonometrische Erwartung kann mit Daten aus nahezu jedem aktuellen astronomischen Almanach ('AA') verglichen werden. (In den letzten Jahren stammen die Monddistanzdaten in AA aus einer numerisch integrierten Ephemeride, Version DE405 für die Jahre 2003-2014 , siehe AA für 2011, Seite L4. Die Integrationen wurden unabhängig von der klassischen trigonometrischen Analyse an moderne Mondlaser-Entfernungsmessdaten angepasst. Die AA für 2011 (die beim Schreiben dieser Antwort vorliegt) tabelliert die Mondentfernungen täglich um 0 Uhr TT (unter Verwendung von Einheiten des Erdäquatorradius, 6378,14 km) ) und liefert die folgenden Beispieldaten (siehe insbesondere Seiten D1, D8, D14). (i) Ein kleinster tabellarischer lokaler Mindestmondabstand für das Jahr trat am 20. März (0h) bei 55.912 Erdradien nahe einem Perigäum am 19. März 19h und einem Vollmond am 19. März 18h 10m auf; und (ii) ein größter tabellarischer lokaler Mindestmondabstand für das Jahr trat am 8. Juli (0 Uhr) um 57.951 Uhr, nahe einem Perigäum am 7. Juli um 14 Uhr und zu einem ersten Mondquartal um 8. Juli um 6 Uhr 29 Uhr auf. Zu den Daten, für die die Entfernungen tabelliert wurden, waren die Phasen und Konfigurationen eng, aber nicht genau. Der Mond war ein paar Grad vom exakten Perigäum und auch ein bisschen von der exakten Syzygie oder Quadratur entfernt. Vernachlässigt man diese Ungenauigkeit, so kann man aus den oben genannten und im Anhang aufgeführten Gründen davon ausgehen, dass die Evektion und Variation an beiden Daten im gleichen Sinne und eher nahe an ihren Maxima wirken; Beide haben den Perigäumabstand zum Zeitpunkt (i) verringert und beide haben ihn zum Zeitpunkt (ii) erhöht.

Aufgrund der Differenz zwischen den Daten (i) und (ii) von AA 2011 betrug der Bereich der tabellierten lokalen Mindestentfernungen (in der Nähe des Perigäums) 2,039 Erdradien, was etwa 13000 km entspricht. Dies unterscheidet sich um weniger als 2,5% vom kombinierten Peak-to-Peak-Bereich (13310 km) der wichtigsten Begriffe für Evektion und Variation. Die Berechnung und der Vergleich sind natürlich ziemlich grob, sowohl aufgrund der Ungenauigkeit der Konfigurationen als auch, weil viele kleinere trigonometrische Terme ignoriert werden. Trotzdem ist es nah und hilft aufzuzeigen, wie die Evektion zusammen mit der Variation fast den gesamten Bereich der Mondperigäumsdistanzen in einem Jahr ausmachen kann.

Blinddarm:

Hier ist (A) gezeigt, wie die oben erwähnten Effekte auch den neuesten analytischen Berichten über die Mondbewegungen quantitativ inhärent sind; und (B) wie einige (jetzt historische) Berichte versucht haben, die gravitativen Ursachen der Evektion getrennt zu skizzieren - ein etwas umständlicheres Unterfangen, das Annäherungen und die Auseinandersetzung mit älteren historischen Formen zum Ausdrücken der Bewegungen beinhaltet.

A: Die quantitative Beschreibung der unterschiedlichen Abstände von Mondperigäen erfolgt hier in Form moderner analytischer Ausdrücke für den Längen- und Radiusvektor der Umlaufbahn des Mondes. Die folgenden Daten sind gerundet aus "ELP 2000-85 - Eine für historische Zeiten angemessene halbanalytische Mond-Ephemeride" von Michelle Chapront-Touzé und Jean Chapront (1988) Astronomy & Astrophysics 190, 342-352 , insbesondere auf Seite 351: dies stellt eine von mehreren Versionen der 'ELP' (Ephémérides Lunaires Parisiennes) des Autors dar, siehe auch diese Seite auf einer der Websites der Pariser Sternwarte.

Die drei größten trigonometrischen Terme, die die zeitlich variierenden Unterschiede zwischen dem wahren und dem mittleren Radiusvektor des Mondes und seiner wahren und mittleren Umlaufbahnlänge beschreiben, werden als der größte der elliptischen Terme bzw. die Hauptterme der Evektion und Variation bezeichnet. Sie sind nah an -

$-20905.355 \cos (l) -3699.111 \cos (2D-l) -2955.968 \cos (2D)$

$+22639.586" \sin (l) +4586.438" \sin (2D-l) +2369.914" \sin (2D)$

$D$$l$

$l$

$-20905.355 \cos (l) -569.925 \cos (2l) -23.210 \cos (3l) ...$

$+22639.586" \sin (l) +769.026" \sin (2l) +36.124" \sin (3l) ...$

Diese liegen ungefähr in der Nähe von Reihen für die Gleichung des Zentrums (in Radiusvektor oder Umlauflänge), die für eine exakte elliptische Kepler-Umlaufbahn mit konstanter ('mittlerer') Exzentrizität von etwa 0,0549 entwickelt werden könnte (vergleiche zum Beispiel die in Brouwer und Clemence (1961) Methods of Celestial Mechanics , S. 76-77, Gleichungen 73 und 75). Zusammen drücken die Reihen (c) und (d) ungefähr eine mittlere Ellipse aus, der der Mond ohne Störungen folgen könnte. Unter dieser hypothetischen Bedingung wären die Mondperigäumsabstände für eine solche mittlere Ellipse natürlich immer gleich, etwa 363502 km, gemäß den drei hier ausgeführten Anfangsperioden.

$(2D-l)$$(l -(2l-2D))$$l$$(2l-2D)$

$l$$(2l-2D)$

$(2l-2D)$$(2l-2D)$

$l$

Die obigen Ausdrücke zeigen somit, wie sich die Perigäumsentfernung des Mondes aufgrund der Hauptentfernung über eine Reichweite von etwa +/- 3699 km ändert. Die Perigäumsentfernung ist in Konfigurationsfall (i) näher an der Erde, wenn die Sonne mit der Richtung des Apogäums / Perigäums des Mondes zusammentrifft / dieser entgegenwirkt; An dieser Stelle verstärken die Hauptausdrücke die elliptischen Ausdrücke, und auch die Längenausschläge sind größer. Dann ist der Perigäumabstand im zweiten Fall größer, wenn die Sonne 90 ° von der Apsislinie entfernt ist; an dieser stelle sind die evektionsterme und die elliptischen hauptterme entgegengesetzt, und auch hier sind die längenausschläge geringer.

Zusammenfassend sind die Auswirkungen der Evektionsterme auf die Perigäumsentfernung und die Länge der Umlaufbahn ungefähr den Auswirkungen ähnlich, die sich aus einer erhöhten Exzentrizität der Umlaufbahn im ersten Fall und einer verringerten Exzentrizität im zweiten Fall ergeben würden. Die Ergebnisse werden durch die Variation gemäß der Phase der Lunation modifiziert.

Der (einfachere) Effekt des Hauptausdrucks der Variation auf den Radiusvektor wurde bereits erwähnt: Der Mond wird bei Neu- und Vollmond um etwa 2956 km näher und bei den Quartalen um denselben Betrag weiter entfernt. Die genauen Perigäumsabstände werden auch von anderen und im Allgemeinen kleineren periodischen Begriffen beeinflusst.

(Diese Effekte zeigen, wenn man sie zusammen betrachtet, auch, wie Vollmonde bei etwa möglichst geringen Perigäumsabständen und daher mit dem größten scheinbaren Durchmesser dazu neigen, in Abständen von etwa 14 synodischen Monaten aufzutreten. Diese Effekte werden manchmal als "Supermonde" bezeichnet Spitzen von Medieninteresse verursachen.)

B: Es ist etwas umständlich, diese ausgewählten Merkmale der Störungen des Mondes gravitativ zu berücksichtigen. Von der Mitte des 18. Jahrhunderts bis zum Beginn des 20. Jahrhunderts behandelten analytische Lösungstechniken typischerweise mindestens die wichtigsten bekannten Störkräfte auf dem Mond als Ganzes, um ungefähre Serienlösungen für die Mondbewegungen zu erhalten. Solche Methoden erzeugen Massen von trigonometrischen Begriffen und lassen es praktisch unmöglich erscheinen, festzustellen, welche (wenn überhaupt) bestimmten Teile der Störkräfte für die Auswurfeffekte verantwortlich sind. Moderne numerische Techniken zeigen auch keine leicht trennbaren Teile der Störungseffekte.

Es wurden mindestens zwei Versuche unternommen, hauptsächlich geometrisch und qualitativ zu zeigen, wie die Auswirkungen der Evektion gravitativ auftreten können. Zu diesem Zweck wird angenommen, dass die Evektion durch Schwankungen der Exzentrizität der Umlaufbahn dargestellt wird, eine Äquivalenz, die oben und in der bereits zitierten Referenz von Godfray erörtert wurde. Die jüngste der beiden Darstellungen stammt von FR Moultons Einführung in die Himmelsmechanik (1914) (in Kapitel 9, insbesondere von S. 321-360). Die ursprüngliche Darstellung wurde von Newton in Buch 1 der Principia, Proposition 66, gegeben, insbesondere Korollar 9 (S. 243-5 in englischer Übersetzung aus dem Lateinischen von 1729). Die Erklärungen hängen davon ab, wie die störende Kraft das Nettoleistungsgesetz für die Anziehungskraft der Erde auf den Mond ändert, und zwar auf unterschiedliche Weise in verschiedenen Teilen der Umlaufbahn des Mondes, wodurch die inverse Kraft etwas mehr als 2 Zoll beträgt einige Teile der Umlaufbahn und etwas weniger in anderen Teilen. Abgesehen davon, dass die Beschreibung dieser Erklärungen hier zu viel Platz in Anspruch nehmen würde, sind die Originale in Online-Archiven verfügbar.

Es ist auch erwähnenswert, dass (1) das Fehlen einer solaren Störkraft die Umlaufbahn des Mondes nicht oder nur annähernd kreisförmig machen würde: Die Exzentrizität ist ein freier Parameter, der einer beliebigen Konstante bei der Integration des Zweikörperproblems entspricht: zum Beispiel Bate, Mueller, White (1971) Fundamentals of Astrodynamics auf den Seiten 19-21 demonstrieren dies besonders transparent.

(2) Die Sonnenkraft, die den Mond in seiner Bewegung um die Erde stört, wird manchmal so beschrieben, als ob sie durch die absolute Anziehungskraft der Sonne auf dem Mond dargestellt wird. Sie wird jedoch durch den (Vektor-) Unterschied zwischen der Anziehungskraft der Sonne auf dem Mond dargestellt und die Anziehung der Sonne auf der Erde (Newton, Principia, Korollarien 1, 2 und 6 zu den Bewegungsgesetzen und Buch 3, Proposition 25 ).

(3) Die Rotation (Präzession) der Apsidenlinie an sich verändert nicht die Perigäumsabstände, sondern die Winkelorte des Perigäums und die Zeiten, zu denen der Mond Perigäum erreicht.

(4) Die Umlaufbahn des Mondes ist ziemlich weit von einer Kepler'schen Ellipse oder einer beliebigen Ellipse entfernt. Sie kombiniert Merkmale einer Variationsbahn (nahezu elliptisch, aber mit der Erde in der Nähe des Zentrums nicht im Mittelpunkt) und einer Ellipse mit variierender Exzentrizität und fluktuierender Linie von Apsiden. Newton drückte bereits in einer unveröffentlichten Veröffentlichung eine ungefähre Erkenntnis aus, dass die reale Umlaufbahn des Mondes aufgrund der Variation weder genau eine exzentrische Kepler - Ellipse noch genau eine zentrale Ellipse ist, sondern "ein Oval anderer Art" (siehe DT Whiteside (ed. ) (1973), The Mathematical papers von Isaac Newton, Band VI: 1684-1691, Cambridge University Press, auf Seite 533 .